[논문 리뷰] Integration Order Replacement Technique for Iterated Ito Stochastic Integrals and Iterated Stochastic Integrals With Respect to Martingales

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 반복 이토 스토케스틱 적분과 마틴갈에 대한 반복 스토케스틱 적분을 위한 통합 순서 교체 기법을 소개한다. 이는 고전적 리만 적분 규칙과 유사한 형식적 연산을 가능하게 한다. 주요 기여는 특정 조건 하에서 이러한 스토케스틱 적분에서 통합 순서를 자유롭게 바꿀 수 있음을 증명하는 정리 집합이다. 이는 항등식 유도를 단순화하고 타일러 유형 전개 및 근사 방법의 효율적 구성에 기여한다.

ABSTRACT

The article is devoted to the integration order replacement technique for iterated Ito stochastic integrals and iterated stochastic integrals with respect to martingales. We consider the class of iterated Ito stochastic integrals, for which with probability 1 the formulas of integration order replacement corresponding to the rules of classical integral calculus are reasonable. The theorems on integration order replacement for the class of iterated Ito stochastic integrals is proven. Many examples of this theorems usage have been considered. These results are generalized for the class of iterated stochastic integrals with respect to martingales.

연구 동기 및 목표

• 고전적 적분 해석학과 유사하게 반복 이토 스토케스틱 적분에서 통합 순서를 바꾸는 형식적 기법을 개발하는 것.
• 이 기법을 마틴갈에 대한 반복 스토케스틱 적분으로 확장하여 적용 범위를 넓히는 것.
• 반복 스토케스틱 적분 간의 관계를 도출하기 위해 이토 공식을 사용하는 것보다 체계적이고 정신적 부담이 적은 대안을 제공하는 것.
• 일원화된 타일러-이토 및 타일러-스트라토니비치 전개, 그리고 일반화된 다중 푸리에 급수 기반의 평균제곱근사 방법 개발을 지원하는 것.

제안 방법

• 반복 이토 스토케스틱 적분에서 통합 순서를 바꾸는 데 있어 그 값이 변하지 않는 조건을 증명하는 정리에 기반한 기법.
• 이토 적분의 평균제곱극한 정의와 단계함수 근사의 사용을 통해 수렴성과 동치성을 확립하는 데 의존.
• 마틴갈 적분의 경우, 새로운 스토케스틱 적분 표현을 도입하고, 피적분함수와 필터레이션에 대한 조건 하에서 그 동치성을 증명함으로써 결과를 확장.
• 위너 과정에 의해 생성된 필터레이션에 대해 적응적 과정과 국소 마틴갈 개념을 사용.
• 핵심 식은 [0,T]에서 적응적이고 제곱적분 가능한 피적분함수를 갖는 리만-스틸티jes 합의 극한으로 정의된 반복 적분을 포함.
• 이 기법은 고전적 통합 순서 규칙을 스토케스틱 설정, 특히 임의의 다중성인 다중 적분으로 일반화하는 정리들(정리 1-8)을 통해 형식화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반복 이토 스토케스틱 적분에서 통합 순서를 고전적 리만 적분과 유사하게 형식적으로 바꿀 수 있는가?
• RQ2 임의의 다중성인 반복 이토 스토케스틱 적분에서 통합 순서 교체가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이 통합 순서 교체 기법을 마틴갈에 대한 반복 스토케스틱 적분으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 이 기법이 통합 타일러-이토 및 타일러-스트라토니비치 전개 개발에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 이 방법이 반복 스토케스틱 적분을 포함한 항등식을 도출하기 위해 이토 공식보다 더 효율적인 대안이 될 수 있는가?

주요 결과

• 피적분함수가 적응적이고 제곱적분 가능할 조건 하에서, 임의의 다중성인 반복 이토 스토케스틱 적분에 대해 통합 순서 교체 기법이 형식적으로 타당하다.
• 이 기법은 고전적 해석학과 유사하게 통합 순서를 바꾸는 방식을 가능하게 하여 반복 스토케스틱 적분에 대한 항등식 도출을 크게 단순화한다.
• 마틴갈에 대한 반복 스토케스틱 적분의 경우, 적분의 존재성과 피적분함수의 적응성 조건을 만족할 경우 기법이 일반화되고 타당함이 입증된다.
• 주어진 조건 하에서 다양한 적분 표현(예: S와 S')의 동치성이 확립되어 형식론의 일관성을 보장한다.
• 이토 공식을 사용한 반복 스토케스틱 적분 간의 관계 유도보다 체계적이고 더 힘든 정신적 노력이 필요한 대안을 제공한다.
• 이 기법은 통합 타일러-이토 및 타일러-스트라토니비치 전개를 구성하고 일반화된 다중 푸리에 급수 기반의 평균제곱근사 방법을 개발하는 데 성공적으로 적용되었다.