[论文解读] Isometry groups of proper CAT(0)-spaces

Ursula Hamenstaedt|ArXiv.org|Oct 21, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 5

一句话总结

该论文证明了，若一个非初等闭子群属于某恰当 CAT(0)-空间的等距群，且包含一个秩一等距变换，则该子群要么是秩一单李群的紧致扩张，要么是完全不连通群的紧致扩张。核心方法在于证明在 $L^p$-空间系数下的二阶有界上同调非零，从而导出高秩李群中格在 CAT(0)-空间上作用时的超刚性结果。

ABSTRACT

Let G be a closed subgroup of the isometry group of a proper CAT(0)-space X. We show that if G is non-elementary and contains a rank-one element then its second bounded cohomology group with coefficients in the regular representation is non-trivial. As a consequence, up to passing to an open subgroup of finite index, either G is a compact extension of a totally disconnected group or G is a compact extension of a simple Lie group of rank one.

研究动机与目标

• 对包含一个秩一等距变换的恰当 CAT(0)-空间等距群的非初等闭子群的结构进行分类。
• 建立此类群在 $L^p$-空间系数下的二阶有界上同调的非零性结果。
• 证明高秩半单李群中不可约格在 CAT(0)-空间上作用时的超刚性定理。
• 通过有界上同调技术，将先前在双曲空间上的结果推广至更广泛的恰当 CAT(0)-空间设置。

提出的方法

• 对作用于恰当 CAT(0)-空间的局部紧致群 $G$，使用二阶连续有界上同调 $H_{cb}^2(G, L^p(G, \nu))$。
• 通过左正则表示构造在 $L^p$-空间系数下的有界上同调，利用哈尔测度的存在性。
• 当 $G$ 包含一个秩一等距变换时，证明 $H_b^2(G, L^p(G, \nu))$ 在 $p \in (1, \infty)$ 时非零。
• 利用非零上同调推导结构刚性：若 $G$ 作用于一个 CAT(0)-空间且包含一个秩一元素，则 $G$ 是秩一李群或完全不连通群的紧致扩张。
• 应用 Burger–Monod 与 Monod–Shalom 关于有界上同调类的诱导结果，将格到全李群的同态进行延拓。
• 利用遍历性及可解根的结构，推导出从 $G$ 到 CAT(0)-空间等距群的连续同态的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于包含一个秩一等距变换的恰当 CAT(0)-空间等距群的非初等闭子群，会施加何种结构约束？
• RQ2 有界上同调技术能否用于检测秩一等距变换的存在，并对由此产生的群结构进行分类？
• RQ3 在何种条件下，从高秩李群中不可约格到 CAT(0)-空间等距群的同态可连续延拓至整个李群？
• RQ4 抛物等距变换的存在如何影响恰当 CAT(0)-空间等距群的拓扑结构？
• RQ5 第二有界上同调群 $H_b^2(G, L^p(G, \nu))$ 在决定等距群整体结构方面起何种作用？

主要发现

• 若 $G < \mathrm{Iso}(X)$ 是恰当 CAT(0)-空间 $X$ 的等距群的非初等闭子群，且包含一个秩一等距变换，则对所有 $p \in (1, \infty)$，有 $H_b^2(G, L^p(G, \nu)) \neq \{0\}$。
• 在通过有限指数开子群进行替换后，$G$ 是一个秩一单李群或完全不连通群的紧致扩张。
• 若 $G$ 在 $\Lambda \times \Lambda \setminus \Delta$ 上作用传递，则 $H_{cb}^2(G, L^p(G, \nu)) \neq 0$。
• 对于半单李群 $G$（有限中心、无紧因子、秩至少为 2）中的不可约格 $\Gamma < G$，若同态 $\rho: \Gamma \to \mathrm{Iso}(X)$ 的像非初等且包含一个秩一等距变换，则 $\rho$ 可连续延拓为同态 $G \to L$，其中 $L$ 是一个秩一单李群。
• 若闭流形 $M$ 的非正曲率满足 $\pi_1(M)$ 包含一个秩一元素，则 $\mathrm{Iso}(\tilde{M})$ 的可解根是平凡的。
• 若 $\mathrm{Iso}(\tilde{M})$ 包含一个抛物等距变换，则其不可能是完全不连通的，否则将与完全不连通群中存在抛物元素且作用具有紧致商的性质矛盾。