[論文レビュー] Lectures on 4d N=1 dynamics and related topics

Yuji Tachikawa|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 174被引用数 10

ひとこと要約

この包括的な講義シリーズは、4次元 $σ{=} 1$ 超対称的力学の自己完結的入門を提供し、Seiberg双対性、$a$-最大化、$S^3\times S^1$ 上の超対称的インデックスといった基礎的トピックをカバーしている。同時に、双対性や楕円的生成関数を介して2次元 $(2,2)$ および $(0,2)$ 理論と結びつける。4次元力学、2次元CFT、コンpactificationの間の深い関係を確立し、次元を超えた超対称的場の理論における双対性と異常に関する統一的視点を提供する。

ABSTRACT

This lecture series consists of mostly independent three parts: Part 1: a tour of basic 4d N=1 supersymmetric dynamics, covering the pure super Yang-Mills, the Seiberg duality for classical groups, the supersymmetric index on S^3, and the a-maximization. Part 2: a brief look at 2d N=(2,2) and N=(0,2) dynamics, covering the Landau-Ginzburg and Calabi-Yau models, the elliptic genera on T^2, and the triality of Gadde-Gukov-Putrov. Appendix: a review of basic properties of supersymmetries in various dimensions. Part of the content is based on an unpublished collaboration with F. Yagi and another with K. Kikuchi.

研究の動機と目的

• 4次元 $σ{=} 1$ 超対称的場の理論の教育的かつ厳密な概要を提供すること。特に、SQCDの力学、双対性、異常を含む。
• コンパクト化と双対性を介して、4次元 $σ{=} 1$ 動力学を2次元 $(2,2)$ および $(0,2)$ 理論と結びつけること。
• グローバル対称性、ラインオペレーター、Stiefel-Whitney類のようなトポロジカル不変量がゲージ理論の分類に果たす役割を明確化すること。
• $a$-最大化技法を、中心的チャージの計算と双対性の検証のためのツールとして提示すること。
• Seiberg双対性や2次元三重双対性といった、一見異なる双対性を、コンパクト化された時空における幾何学的・トポロジカル構造を通じて統一すること。

提案手法

• 4次元 $σ{=} 1$ 理論におけるベクトル multiplet とキラル multiplet のラグランジアンを導出するために、超空間形式と超場の技法を用いる。
• 1ループの摂動的ランゲージ群解析と異常マッチングを適用し、双対性と相の構造を制約する。
• $S^3\times S^1$ 上の超対称的インデックスを用いて、BPS状態を数え上げ、インデックス不変性により双対性を検証する。
• $a$-最大化を用いて中心的チャージ $a$ を計算し、双対理論の整合性を検証する。
• Seiberg双対性フレームワークを、古典的ゲージ群を有するSQCDに適用し、異常多項式とオペレータースペクトルによる双対性の検証を行う。
• 4次元双対性から、$S^2$ 上のコンパクト化を介して2次元 $(0,2)$ 理論への双対性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathop{\mathrm{SU}}(N)$ と $\mathop{\mathrm{SO}}(N)$ ゲージ群が4次元 $σ{=} 1$ 理論において、グローバル対称性とラインオペレーターでどのように異なるか。
• RQ2 $a$-最大化原理が、同じIR固定点の異なる双対的記述を区別する上で果たす役割は何か。
• RQ3 $S^3\times S^1$ 上の超対称的インデックスが、$E_7$ 理論のような非ラグランジュ的理論の存在をどのように検出するか。
• RQ4 4次元 $σ{=} 1$ 双対性がどのように2次元 $(0,2)$ 三重双対性を導き、$S^2$ 上で幾何学的に実現されるか。
• RQ5 スピン3/2表現の場を有する4次元 $σ{=} 1$ 理論が、超対称的かつ conformal であるための条件は何か。

主な発見

• $a$-最大化手順は、アドジャントSQCDやArgyres-Douglas理論を含め、双対理論における正しいR対称性と中心的チャージ $a$ を的確に特定できた。
• $S^3\times S^1$ 上の超対称的インデックスはSeiberg双対性に対して不変であり、BPSスペクトルの双対性を確認した。
• $\mathop{\mathrm{SU}}(2)$ SQCDに $N_f=4$ を適用した場合、インデックスは非ラグランジュ的で $E_7$-に類似した固定点を示し、強い結合のSCFTであることを示唆した。
• $\mathop{\mathrm{SO}}(3)$ SQCDに1フレーバーを有する理論は、$\Gamma(2)\subset\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ の双対性群を示し、Seiberg-Witten曲線とモノドロミー構造と関連した。
• $S^2$ 上での4次元双対性から導かれる2次元 $(0,2)$ 三重双対性は、楕円的生成関数とキラルオペレーターのスペクトルの一致により確認された。
• 3次元の$\mathcal{N}{=} 8$ BLG理論が、そのモジュリ空間が $\mathbb{R}^8/\mathbb{D}_{4k}$ であり、ゲージ群のWeyl軌道ではないことから、非ヤンミルズ理論であることが示された。