[论文解读] Loop homology algebra of a closed manifold

Yves Félix, Jean‐Claude Thomas+1 more|ArXiv.org|Mar 14, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文为任意域上的闭、单连通、定向流形的环路上同调代数构建了一个显式的链模型，计算了环路乘积和到基于环路空间上同调的交映射。关键贡献在于证明了交映射的核是一个幂零理想（幂零指数 ≤ d/2，或在特征零时 ≤ cat M），且其像位于庞特里亚金代数的中心——这意味着尽管环路上同调代数通常很大，其像却通常非常小。

ABSTRACT

The loop homology of a closed orientable manifold $M$ of dimension $d$ is the ordinary homology of the free loop space $M^{S^1}$ with degrees shifted by $d$, i.e. $\mathbb H_*(M^{S^1}) = H_{*+d}(M^{S^1})$. Chas and Sullivan have defined a loop product on $\mathbb H_*(M^{S^1})$ and an intersection morphism $I : \mathbb H_*(M^{S^1}) o H_*(ΩM)$. The algebra $\mathbb H_*(M^{S^1})$ is commutative and $I$ is a morphism of algebras. In this paper we produce a model that computes the algebra $\mathbb H_*(M^{S^1})$ and the morphism $I$. We show that the kernel of $I$ is nilpotent and that the image is contained in the center of $H_*(ΩM)$, which is in general quite small.

研究动机与目标

• 为闭、单连通、定向流形的自由环路空间构建一个显式的链级模型，以计算环路上同调代数及交映射。
• 理解环路上同调代数的代数结构，特别是环路乘积与到基于环路空间上同调的交映射之间的相互作用。
• 确定交映射的像与核的大小和结构，尤其与流形的拓扑性质的关系。
• 建立交映射的像位于庞特里亚金代数中心的结论，表明其受流形同伦型的严格约束。

提出的方法

• 利用Cohen-Jones同构将环路上同调识别为流形的奇异上链代数的Hochschild上同调。
• 通过Hochschild上同调上的Gerstenhaber乘积构造环路乘积的链模型，利用悬垂同构调整度数。
• 通过Hochschild上同调，利用增强映射和含系数的Hochschild上同调的图表描述交映射 I: ℋ*(LM; k) → H*(ΩM; k)。
• 在特征零时，应用关于分次李代数的普遍包络代数中心的代数结果，分析 I 的像。
• 利用流形的庞特里亚金对偶性结构，将链模型与基本类关联，建立Hochschild上同调中的对偶同构。
• 在半自由双模中使用提升与同伦扩张性质，构造同调类的链代表。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意域 k 上的闭、单连通、定向流形 M，环路上同调代数 ℋ*(LM; k) 的代数结构是什么？
• RQ2 交映射 I: ℋ*(LM; k) → H*(ΩM; k) 如何与庞特里亚金代数 H*(ΩM; k) 的代数结构相关联？
• RQ3 I 的像是否包含于 H*(ΩM; k) 的中心？其大小可能有多大？
• RQ4 I 的核的幂零指数是多少？它如何依赖于流形 M 的拓扑不变量（如Lusternik-Schnirelmann范畴或维数）？
• RQ5 在何种条件下，交映射 I 是满射？

主要发现

• 交映射 I: ℋ*(LM; k) → H*(ΩM; k) 的核是幂零理想，其幂零指数至多为 d/2，其中 d 是流形 M 的维数。
• I 的像位于庞特里亚金代数 H*(ΩM; k) 的中心，这通常非常小，意味着环路上同调代数远大于 I 的像。
• 当域 k 的特征为零时，ker I 的幂零指数上界为 M 的Lusternik-Schnirelmann范畴。
• 在特征零时，I 的像与有理化同伦群 π*(ΩM)⊗k 的交集恰好是 G*(M)⊗k，即有理化Gottlieb群。
• I 的像的增长是多项式的：∑_{i=0}^n dim(Im I ∩ H_i(ΩM; k)) ≤ Cn^k，其中 C > 0 且 k ≤ cat M。
• 交映射 I 是满射，当且仅当 M 具有奇维球面乘积的有理同伦型。