[論文レビュー] Multiplicative McKay correspondence in the symplectic case

D. Kaledin|ArXiv.org|Nov 24, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ポisson構造とホッフシャイドコhomologyを用いた新規な変形論的アプローチにより、シンプレクティックな場合の乗法的 McKay 対応を確立した。具体的には、任意のクレパント解消 $X \to V/G$ のコホモロジー代数が、チェン＝ルアンのオルビフォールドコホモロジー代数 $H^\bullet_{\text{orb}}([V/G], \mathbb{C})$ に同型であることを示した。主な結果は、Y. Ruanの予想、すなわちシンプレクティック商特異点において乗法的構造が一致することを裏付けた。

ABSTRACT

This is a write-up of my talk at the Conference on algebraic structures in Montreal, July 2003. I try to give a brief informal introduction to the proof of Y. Ruan's conjecture on orbifold cohomology multiplication for symplectic quotient singularities given in V. Ginzburg and D. Kaledin, math.AG/0212279. Version 2: minor changes, added some references.

研究の動機と目的

• 任意のクレパント解消 $X \to V/G$ のコホモロジー代数が、シンプレクティックな場合のチェン＝ルアンのオルビフォールドコホモロジー代数に同型であることを証明すること。
• $G \subset \mathrm{Sp}(V) \subset \mathrm{SL}(V)$ がシンプレクティック形式を保存する場合のシンプレクティックな商特異点に対して、乗法的 McKay 対応を確立すること。
• モチーフ的積分に依存しない、概念的で変形論的な証明を提供すること。ここでは、ポワソン変形とホッフシャイドコホモロジーに焦点を当てる。
• 直接的な比較手法が欠如しているにもかかわらず、オルビフォールドコホモロジー代数と解消のコホモロジーが可換代数として同型であることを示すこと。

提案手法

• スモーズ積代数 $S(V)\#G$ の中心の平坦な変形 $Z_c$ を用い、商特異点 $V/G$ のポワソン変形をパラメトライズする。
• [EG] の結果を適用し、$\operatorname{Spec}Z_c$ が滑らかであるとき、$H^\bullet_{\text{DR}}(\operatorname{Spec}Z_c) \cong H^\bullet_{\text{orb}}([V/G], \mathbb{C})$ であることを示す。
• 商 $Y = V/G$ の変形 $\widetilde{Y}/B$ が、アフィンポワソンスキームのカテゴリにおいて普遍的であることを確立する。これは、すべてのポワソン変形が $\widetilde{Y}/B$ のファイバーとして現れることを意味する。
• 一般の $c$ に対して、ファイバー $\operatorname{Spec}Z_c$ が滑らかであり、$\widetilde{Y}_b$ に同型であることを証明する。これにより、それらのデ ラームコホモロジーが一致する。
• 加法的 McKay 対応により、$H^\bullet_{\text{DR}}(\operatorname{Spec}Z_c) \cong H^\bullet_{\text{DR}}(X)$ が成り立つ。ここで $B = H^2_{\text{DR}}(X)$ は変形のベースと同一視される。
• シンプレクティック形式により、多様体上のベクトル場と微分形式の同型 $\mathcal{T}_X \cong \Omega^1_X$ を得ることで、コホモロジー比較に不可欠な隠れた $HH_\bullet \cong HH^\bullet$ 同型が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G \subset \mathrm{Sp}(V)$ のとき、任意のクレパント解消 $X \to V/G$ に対して、チェン＝ルアンのオルビフォールドコホモロジー代数 $H^\bullet_{\text{orb}}([V/G], \mathbb{C})$ とコホモロジー代数 $H^\bullet(X, \mathbb{C})$ が同型であるか？
• RQ2 モチーフ的積分に依存せずに、$H^\bullet(X, \mathbb{C})$ の乗法的構造がオルビフォールドコホモロジー乗法と同定可能か？
• RQ3 $V/G$ のポワソン構造とそのクレパント解消のコホモロジーを結ぶ変形論的メカニズムは存在するか？
• RQ4 変形 $\widetilde{Y}/B$ の普遍性を用いて、一般のファイバーに対して滑らかさとコホモロジー同型を示せるか？
• RQ5 この文脈において、シンプレクティック形式はホッフシャイドコホモロジーとデ ラームコホモロジーの関係をどのように果たすか？

主な発見

• $G \subset \mathrm{Sp}(V)$ のとき、任意のクレパント解消 $X \to V/G$ のコホモロジー代数 $H^\bullet(X, \mathbb{C})$ は、チェン＝ルアンのオルビフォールドコホモロジー代数 $H^\bullet_{\text{orb}}([V/G], \mathbb{C})$ に同型である。
• 一般の $c$ に対して、ポワソン変形 $Z_c$ のファイバー $\operatorname{Spec}Z_c$ は滑らかであり、[EG] のデ ラームコホモロジーに関する結果の適用が保証される。
• $\widetilde{Y}/B$ は、アフィンポワソンスキームのカテゴリにおいて普遍的である。これは、すべてのポワソン変形がそのファイバーとして現れることを意味する。
• $\operatorname{Spec}Z_c$ のデ ラームコホモロジーは $H^\bullet_{\text{DR}}(X)$ に同型であり、[EG] を通じて、これは $H^\bullet_{\text{orb}}([V/G], \mathbb{C})$ に等しい。これにより、望ましい同型が確立される。
• 証明は、体積形式とのカップ積ではなく、シンプレクティック形式によって誘導される隠れた同型 $HH_\bullet \cong HH^\bullet$ に依存している。
• この結果により、モチーフ的積分に代わる概念的証明が得られ、シンプレクティックな場合の Ruan の予想が確認された。