[論文レビュー] On the K-theory of crossed products by automorphic semigroup actions

Joachim Cuntz, Siegfried Echterhoff+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$P$ が群 $G$ に埋め込まれ、Toeplitz 条件および Baum-Connes 猜想を満たす場合に、自己同型的半群作用による簡約交叉積 $A \rtimes_{\alpha,r} P$ の $K$-理論公式を確立する。全単射な $KK^G$-類は、完全不連結 $G$-空間におけるコンパクト開集合の独立な $G$-不変族から得られ、下降原理を用いて、交叉積の $K$-理論を安定化部分群へ関連付ける。この結果、従来の半群 $C^*$-代数の $K$-理論に関する結果を一般化する分解が得られる。

ABSTRACT

Let P be a semigroup that admits an embedding into a group G. Assume that the embedding satisfies a certain Toeplitz condition and that the Baum-Connes conjecture holds for G. We prove a formula describing the K- theory of the reduced crossed product A timesα,r P by any automorphic action of P. This formula is obtained as a consequence of a result on the K-theory of crossed products for special actions of G on totally disconnected spaces. We apply our result to various examples including left Ore semigroups and quasi-lattice ordered semigroups. We also use the results to show that for certain semigroups P, including the ax + b-semigroup for a Dedekind domain R, the K-theory of the left and right regular semigroup C*-algebras of P coincide, although the structure of these algebras can be very different.

研究の動機と目的

• 左 Ore 条件を超えて半群 $C^*$-代数の $K$-理論計算を一般化すること。
• 半群 $P$ が $C^*$-代数 $A$ 上で自己同型として作用する場合の簡約交叉積 $A \rtimes_{\alpha,r} P$ の $K$-理論公式を確立すること。
• 完全不連結 $G$-空間における独立なコンパクト開集合から得られる標準的 $KK^G$-類を用いて、一般の係数および作用への下降原理 (DC) を拡張すること。
• 特定の半群、特に Dedekind 整域上の $ax+b$-半群を含め、左正則および右正則半群 $C^*$-代数の $K$-理論が構造的差異にもかかわらず一致することを示すこと。

提案手法

• 完全不連結 $G$-空間 $\Omega$ におけるコンパクト開部分集合の $G$-不変かつ独立な族 $\mathcal{V}$ から、$I = \mathcal{V} \setminus \{\emptyset\}$ を用いて、標準的 $KK^G$-類 $x \in KK^G(C_0(I), C_0(\Omega))$ を構成する。
• 群 $G$ に対する Baum-Connes 猜想の下で、コンパクト部分群への下降原理 (DC) を用い、$x$ が $K_*(A \otimes C_0(\Omega) \rtimes_r G) \cong K_*(A \otimes C_0(I) \rtimes_r G)$ を誘導することを示す。
• グリーンの実現定理を適用して、右辺を $I$ 内の $G$-軌道の直和に分解し、$\bigoplus_{[i] \in G \setminus I} K_*(A \rtimes_{\alpha,r} G_i)$ を得る。ここで $G_i$ は $i \in I$ の安定化部分群である。
• ヒルベルト $B$-加群と $G$-不変 $*$-準同型を用いて、非負整数成分の行列分解 $\Gamma = \Gamma^+ - \Gamma^-$ を通じて $KK^G$-類を構成する。
• $KK^G(C,A)$ 内のテンソル積恒等式 $x_\Gamma^G \otimes_B x_\Lambda^G = x_{\Lambda \cdot \Gamma}^G$ を用いて、構成の関手的性を証明し、$\Gamma \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ のときの逆元の存在を示す。
• この枠組みを、Toeplitz 条件を満たす群 $G$ に埋め込まれた半群 $P$ に適用し、$C^*_\lambda(P)$ および $C^*_\rho(P)$ の $K$-理論に関する既存の結果を回復および拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型的半群作用による簡約交叉積 $A \rtimes_{\alpha,r} P$ の $K$-理論が、群論的下降によっていつ計算可能か。
• RQ2 半群 $P$ の構成可能な右イデアルの独立性は、関連する $G$-空間 $\Omega_P$ 及びその $K$-理論にどのように関係するか。
• RQ3 下降原理 (DC) は、任意の $C^*$-代数係数および非自明な作用へ一般化可能か。
• RQ4 どの半群 $P$ に対して、左正則代数 $C^*_\lambda(P)$ の $K$-理論と右正則代数 $C^*_\rho(P)$ の $K$-理論が一致するか。
• RQ5 Baum-Connes 猜想は、下降機構による $K$-理論同型の妥当性を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 簡約交叉積 $A \rtimes_{\alpha,r} P$ の $K$-理論は、$I$ を $\Omega_P$ 内の非空な要素からなる独立な $G$-不変コンパクト開部分集合族の集合とし、$i \in I$ の安定化部分群を $G_i$ とすると、直和 $\bigoplus_{[i] \in G \setminus I} K_*(A \rtimes_{\alpha,r} G_i)$ に同型である。
• この同型は、非負整数成分の行列分解 $\Gamma = \Gamma^+ - \Gamma^-$ を用いて構成された標準的 $KK^G$-類 $x \in KK^G(C_0(I), C_0(\Omega))$ によって誘導される。
• この構成は関手的である：$KK^G(C,A)$ 内で $x_\Gamma^G \otimes_B x_\Lambda^G = x_{\Lambda \cdot \Gamma}^G$ が成り立ち、$\Gamma \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ のとき $x_\Gamma^G$ は逆元を持つ。
• Dedekind 整域 $R$ 上の $ax+b$-半群 $R \rtimes R^\times$ に対して、$C^*_\lambda(P)$ と $C^*_\rho(P)$ の $K$-理論は、構造的差異にもかかわらず一致する。
• 左 Ore 条件を弱めた埋め込み $P \subseteq G$ における Toeplitz 条件に置き換えつつも、同じ $K$-理論公式を保持するため、半群 $C^*$-代数の $K$-理論に関する従来の結果を一般化する。
• この枠組みは、左 Ore 半群や準格子順序半群など、さまざまな半群に適用可能であり、完全不連結空間上の群作用を用いた $K$-理論計算の統一的アプローチを提供する。