[論文レビュー] On uniformly recurrent subgroups of finitely generated groups

Gábor Elek|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限生成群の任意の一様再帰的部分群（URS）が、最小的力学系の安定性系として現れることを証明し、GlasnerとWeissが提起した問いに答えている。著者らは、Lovászの局所補題に基づく彩色技術を用いて、有限生成sofic群が不変確率測度を伴う自由なベルヌーイ部分シフトを有することをさらに示しており、既知の結果を残留有限または可換群に限らない範囲に拡張している。

ABSTRACT

We prove that if $G$ is a finitely generated group and $Z$ is a uniformly recurrent subgroup of $G$ then there exists a minimal system $(X,G)$ with $Z$ as its stability system. This answers a query of Glasner and Weiss \cite{GW} in the case of finitely generated groups. Using the same method (introduced by Alon, Grytczuk, Haluszczak and Riordan \cite{AGHR}) we will prove that finitely generated sofic groups have free Bernoulli-subshifts admitting an invariant probability measure.

研究の動機と目的

• 有限生成群の任意の一様再帰的部分群（URS）が、最小的力学系の安定性系として現れるかどうかという、GlasnerとWeissによる問いを解決すること。
• 残留有限群や可換群に限らない範囲において、不変確率測度を伴う自由ベルヌーイ部分シフトの存在を拡張すること。
• Alonらが提唱したLovász局所補題に基づく彩色法を応用し、彩色されたシュライエル図に最小的作用を構成すること。
• 非反復的彩色と不変測度の弱収束を活用して、sofic群が自由ベルヌーイ部分シフトを有することを示すこと。

提案手法

• 固定された対称生成集合を伴う有限生成群に対して、根付きで辺ラベル付きかつ頂点彩色付きのシュライエル図の空間を構成する。
• Lovász局所補題を用いて、sofic近似列における有限シュライエル図の非反復的頂点彩色を生成する。
• 有限図のすべての頂点に関する平均を用いて、彩色シュライエル図の空間上の確率測度の列を定義する。
• 弱コンpakト性を適用して、無限彩色シュライエル図の空間上に弱収束する測度を抽出し、群作用に関して不変であることを保証する。
• 極限測度が商群のケイリー図の非反復的彩色にのみ支持されるように証明し、関連する作用の自由性を保証する。
• 非反復的彩色の空間からベルヌーイシフト空間への連続的かつ-equivariantな写像を構成し、不変測度を伴う自由ベルヌーイ部分シフトを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群の任意の一様再帰的部分群（URS）は、最小的力学系の安定性系として現れるか？
• RQ2 有限生成sofic群に対して、不変確率測度を伴う自由ベルヌーイ部分シフトを構成できるか？
• RQ3 Lovász局所補題に基づく技法を、URS実現のための彩色されたシュライエル図における最小的作用に適応できるか？
• RQ4 残留有限群や可換群に限らないsofic群は、不変測度を伴う自由ベルヌーイ部分シフトを有するか？
• RQ5 頂点平均測度の弱収束によって構成された極限測度は、無限シュライエル図における非反復的彩色に支持されるか？

主な発見

• 任意の有限生成群および任意の一様再帰的部分群（URS）Zに対して、その安定性系がちょうどZに一致する最小的系（X, Γ, α）が存在する。
• この構成は、sofic近似における有限シュライエル図の非反復的彩色に基づいており、極限測度が非反復的彩色にのみ支持されることを保証する。
• 彩色シュライエル図の空間上の極限測度は群作用に関して不変であり、非反復的彩色に集中しており、これにより関連する作用の自由性が保証される。
• 非反復的彩色の写像の像はベルヌーイシフト空間K^Γにおける閉集合であり、Γ不変であるため、自由ベルヌーイ部分シフトを形成する。
• 極限測度を彩色写像によって押し上げることで、自由ベルヌーイ部分シフト上にΓ不変確率測度が得られ、これが有限生成sofic群における存在を確認する。
• この結果により、自由ベルヌーイ部分シフトと不変測度を有する群のクラスが、残留有限群や可換群に限らない範囲に拡張され、すべての有限生成sofic群にまで拡大される。