[论文解读] p-adic L-functions for non-critical adjoint L-values

Pak Hin Lee|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 1

一句话总结

本文構造了一個p進L函數，該函數插值了在虛二次域上Hida模形式族的非臨界特殊值L(1, ad(f) ⊗ α)，使用Λ-adv模符號與取值於p進測度的上同調。主要貢獻在於透過對上同調類應用Λ-adv評價映射，系統性地在不同權重之間插值Hida的積分表達式。

ABSTRACT

Let K be an imaginary quadratic field, with associated quadratic character α. We construct an analytic p-adic L-function interpolating the special values L(1, ad(f) ⊗ α) as f varies in a Hida family; these values are non-critical in the sense of Deligne. Our approach is based on Greenberg--Stevens' idea of Λ-adic modular symbols. By considering cohomology with values in a space of p-adic measures, we construct a Λ-adic evaluation map that interpolates Hida's integral expression as the weight varies. The p-adic L-function is obtained by applying this map to a cohomology class corresponding to the given Hida family.

研究动机与目标

• 將p進L函數理論擴展至Hida族在虛二次域上的非臨界特殊值伴隨L函數。
• 解決在虛二次域背景下非臨界值缺乏插值方法的問題。
• 將Greenberg–Stevens的Λ-adv模符號方法推廣至取值於p進測度的上同調。
• 構造一個p進L函數，使其在Hida族中權重變動時插值L(1, ad(f) ⊗ α)。
• 透過評價映射提供Hida積分表達式在不同權重下的一種上同調實現。

提出的方法

• 使用Greenberg–Stevens的Λ-adv模符號框架來構造p進L函數。
• 使用取值於p進測度空間的上同調來處理特殊值的非臨界性質。
• 定義一個Λ-adv評價映射，以在Hida族中權重變動時插值Hida的積分表達式。
• 將該評價映射應用於與給定Hida族相關的上同調類，從而獲得p進L函數。
• 依賴於虛二次域上Hida族的結構，以確保在不同權重之間實現插值。
• 透過評價映射將p進L函數確認為上同調類的特徵元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何構造一個p進L函數，使其在虛二次域上Hida族中插值非臨界特殊值L(1, ad(f) ⊗ α)？
• RQ2 何種上同調框架能實現Hida積分表達式在Hida族中不同權重之間的插值？
• RQ3 Λ-adv模符號能否推廣至取值於p進測度的上同調，以處理非臨界L值？
• RQ4 評價映射在權重變動的背景下如何插值Hida的積分表達式？
• RQ5 上同調類在透過評價映射實現p進L函數的過程中扮演何種角色？

主要发现

• 本文成功構造了一個p進L函數，使其在Hida族中插值非臨界特殊值L(1, ad(f) ⊗ α)。
• 插值是透過定義於取值於p進測度的上同調上的Λ-adv評價映射實現的。
• 該方法透過引入p進測度來處理非臨界L值，推廣了Greenberg–Stevens的思路。
• 透過評價映射，該構造將Hida的積分表達式實現為不同權重下的族。
• p進L函數作為上同調類在Λ-adv評價映射下的像獲得。
• 該框架為非臨界伴隨L值的插值過程提供了上同調解釋。