[論文レビュー] Relative injectivity as cocompleteness for a class of distributors

Maria Manuel Clementino, Dirk Hofmann|ArXiv.org|Jul 25, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$Φ$-分布関手 $Φ$ に関する相対的な$cocompleteness$の概念を導入することで、豊かに付加された圏論における単射性とcocompletenessの双対性を一般化する。$Φ$-cocompletenessは、$Φ$-プレシェーブ圏へのヤオの埋め込みに対する左随伴の存在と同値であり、トポロジカル理論と意味論的領域に関する結果を統一的かつ拡張的に扱う。

ABSTRACT

Notions and techniques of enriched category theory can be used to study topological structures, like metric spaces, topological spaces and approach spaces, in the context of topological theories. Recently in [D. Hofmann, Injective spaces via adjunction, arXiv:0804.0326 [math.CV]] the construction of a Yoneda embedding allowed to identify injectivity of spaces as cocompleteness and to show monadicity of the category of injective spaces and left adjoints over $\mathsf{Set}$. In this paper we generalise these results, studying cocompleteness with respect to a given class of distributors. We show in particular that the description of several semantic domains presented in [M. Escardó and B. Flagg, Semantic domains, injective spaces and monads, Electronic Notes in Theoretical Computer Science 20 (1999)] can be translated into the $\mathsf{V}$-enriched setting.

研究の動機と目的

• クラス $Φ$ の分布関手を用いて、絶対的から相対的設定への単射性とcocompletenessの同値性を一般化すること。
• トポロジカル理論と類似する構造をモデル化するため、$Ρ$-圏とトポロジカル理論を用いて豊かに付加された圏論の枠組みを拡張すること。
• EscardóとFlaggが得た単射的空間と意味論的領域に関する結果を、$Ρ$-豊かに付加された設定に埋め込むことで、それらを回復および一般化すること。
• 与えられた埋め込みのクラスに関して、$Φ$-cocomplete $Ρ$-圏が正確にその埋め込みに関して単射的 $τ$-圏であることの特徴づけ。
• 分布関手と重み付きコロイドの観点から、トポロジカル理論における単射性と完全性を研究するための圏論的基盤を確立すること。

提案手法

• $Φ$-cocompletenessを、$Φ$-プレシェーブ圏へのヤオの埋め込みに対する左随伴の存在として定義する、$Ρ$-圏の概念を導入する。
• $Φ$-プレシェーブ圏を、すべての$Ρ$-分布関手の$Ρ$-圏の完全部分圏として構成する。
• ヤオの補題と重み付きコロイドを用いて、ヤオの埋め込みに対する左随伴の存在を特徴づけることで、$Φ$-cocompletenessを特徴づける。
• $Φ$-密度関手を、完全に忠実でかつ$Φ$-重み付き極限を保存する関手として定義し、一般化された「適正関手」の概念を拡張する。
• 特定の条件下で、$Φ$-密度関手が$τ$-圏から$Ρ$-圏への忘却関手に関して最終的であることを確立する。
• 具体的なトポロジカル理論（例えば、超フィルターとワードモノイド）にこの枠組みを適用し、既知の単射的空間と意味論的領域に関する結果を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして$Ρ$-豊かに付加された圏の文脈において、分布関手のクラス $Φ$ に対してcocompletenessを相対化できるか？
• RQ2 $Φ$-cocompletenessが$τ$-圏において単射性と一致する条件は何か？
• RQ3 EscardóとFlaggが得た意味論的領域と単射的空間に関する結果は、この枠組みを用いて$Ρ$-豊かに付加された設定で回復可能か？
• RQ4 $Φ$-密度関手は、$τ$-圏のカテゴリにおける$Φ$-cocompletenessおよび最終性の特徴づけにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 上界を保存する、コタンジェントを保存する、または任意の下界を保存するといった、$Φ$-分布関手のクラス—のようなもの—は、既知の完全性の概念とどのように関係するか？

主な発見

• $Φ$-プレシェーブ圏へのヤオの埋め込みに対する左随伴の存在は、$Ρ$-圏の$Φ$-cocompletenessと同値である。
• 埋め込みのクラスに関して単射的$τ$-圏は、正確に$Φ$-cocomplete $Ρ$-圏である。これは、圏論的双対性を確立する。
• 各$Φ$-密度関手は、$τ$-圏から$Ρ$-圏への忘却関手に関して最終的である。これは「適正性」の概念を一般化する。
• $Φ$-重み付き極限を保存する$Φ$-分布関手のクラスには、すべての表現可能で、右随伴である$Φ$-分布関手が含まれる。
• 上界を保存する、コタンジェントを保存する、または任意の下界を保存するといった、$Φ$の特定の選択は、EscardóとFlaggが得た既知の単射性の結果を回復する。
• この枠組みは、単射的空間と意味論的領域に関する既存の結果を、$Ρ$-圏とトポロジカル理論の豊かに付加された圏論的設定に埋め込むことで、統一的かつ一般化する。