[論文レビュー] Sheaf-Theoretic Methods in Quantum Mechanics and Quantum Information Theory

Carmen Constantin|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 109被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、局所性、非局所性、もつれといった基礎的量子現象を解析するために、層理論的およびトポス理論的枠組みを応用する。三段階のコンテキストの階層を導入し、すべてのn量子ビットもつれ状態—単一およびベル状態のテンソル積を除く—が論理的非局所性を示すことを証明するとともに、観測可能を特定する構成的アルゴリズムを提示する。

ABSTRACT

In this thesis we use the language of sheaf theory in order to develop a deeper understanding of some of the fundamental differences - such as entanglement, contextuality and non-locality - between quantum and classical physics. We first present, based on the work of Abramsky and Brandenburger, how sheaves, defined over certain posets of physically meaningful contexts, give a natural setting for capturing and analysing important quantum mechanical phenomena, such as quantum non-locality and contextuality. We also describe how this setting naturally leads to a three level hierarchy of quantum contextuality: weak contextuality, logical non-locality and strong contextuality. We use these insights in order to classify certain multipartite entangled states. Almost all of these turn out to be at least logically non-local, and a number of them even turn out to be strongly contextual. We further extend this result by showing that all n-qubit entangled states, with the exception of tensor products of single-qubit and bipartite maximally-entangled states, are logically non-local. Our proof is constructive: given any n-qubit state, we present an algorithm which produces n+2 local observables witnessing its logical non-locality. In the second half of the thesis we use the same basic principle of sheaves defined over physically meaningful contexts, in order to present an elegant mathematical language, known under the name of the Topos Approach, in which many quantum mechanical concepts, such as states, observables, and propositions about these, can be expressed. We then show that the language of the Topos Approach is as least as expressive, in logical terms, as traditional quantum logic. Finally, starting from a topos-theoretic perspective, we develop the construction of contextual entropy in order to give a unified treatment of classical and quantum notions of information theoretic entropy.

研究の動機と目的

• 物理的に意味のあるコンテキストの族上での層理論を用いて、もつれ、コンテキスト依存性、非局所性といった、量子と古典の根本的違いを理解すること。
• 「関数的依存性を有するバランスの取れた状態」と呼ばれる、新たな多粒子もつれ状態のクラスを、層理論的コンテキスト依存性を用いて分類すること。
• 層理論的知見をトポス的アプローチへと拡張し、量子状態、観測可能、命題を統一的な数学的言語で記述すること。
• トポス的アプローチが、従来の量子論理と同等以上に表現力を持つことを示すこと。
• トポス枠組み内でのコンテキスト依存エントロピーを定義・開発し、古典的および量子情報理論的エントロピーの概念を統一すること。

提案手法

• 測定コンテキストの半順序集合上の層を用いて量子系をモデル化し、 Abramsky-Brandenburger フレームワークを活用してコンテキスト依存性および非局所性を形式化する。
• 層コホホロジーにおけるグローバルセクションの障害を用いて、弱いコンテキスト依存性、論理的非局所性、強いコンテキスト依存性の三段階のコンテキスト依存性を定義する。
• 置換的に非対称な状態の多項式ベース分類を構築し、関数的依存度を用いてそのコンテキスト依存性を分析する。
• 任意のn量子ビットもつれ状態における論理的非局所性を検出するn+2個の局所的観測可能を生成する構成的アルゴリズムを開発する。
• トポス的アプローチを用いて、量子状態をスペクトルプレシアフの上での測度として表現し、C*-代数のdaseinisationおよびGelfand双対性を用いる。
• コンテキスト依存エントロピーを、コンテキスト上の測度と部分トレースを用いて、シャノンおよびフォン・ノイマンエントロピーの層理論的一般化として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの多粒子もつれ状態が論理的非局所性を示し、それはどのように体系的に分類できるか？
• RQ2 任意のn量子ビットもつれ状態において、論理的非局所性を検出する局所的観測可能を見つけるための構成的アルゴリズムを開発できるか？
• RQ3 トポス的量子力学の言語は、従来の量子論理と比べて、どの程度同等以上に表現力を持つとされるか？
• RQ4 コンテキスト依存エントロピーはどのように定義され、古典的および量子情報理論的エントロピーの概念を統一するためにどのように利用できるか？
• RQ5 トポス的アプローチにより、層のグローバルセクションから純粋状態および任意の量子状態を再構成できるか？

主な発見

• 単一量子ビット状態および二粒子最大もつれ状態（ベル状態）のテンソル積を除く、すべてのn量子ビットもつれ状態は論理的非局所性を示す。
• 任意のn量子ビットもつれ状態における論理的非局所性を検出するn+2個の局所的観測可能を作成する構成的アルゴリズムが提示された。
• 関数的依存性を有するバランスの取れた状態のクラスには、少なくとも論理的非局所性を示す状態が含まれており、その一部は強くコンテキスト依存的である。
• トポス的アプローチが、従来の量子論理と同等以上に表現力を持つことが示され、トポスフレームワークから命題の論理が形式的に再構成された。
• コンテキスト依存エントロピーは、シャノンおよびフォン・ノイマンエントロピーの層理論的一般化として定義され、部分トレースの下でも性質が保存される。
• もつれコンテキストにおいてエントロピーの部分加法性の反例が構成され、トポス枠組み内でのコンテキスト依存エントロピーにおいて、一般に部分加法性が成り立たないことが示された。