[论文解读] The 2-Chu-Dialectica construction and the polycategory of multivariable adjunctions

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 35被引用 9

一句话总结

本文引入了一个统一的2-范畴框架——通过在多范畴上推广的“Chu-Dialectica”构造——该框架同时涵盖了经典的Chu构造和Dialectica构造。它表明多变量伴随关系构成一个多范畴，而2-Chu-Dialectica构造自然地捕捉了其对偶性和循环结构，为高阶范畴理论中的$\natural$-自对偶和$\natural$-可对偶结构提供了典范设置。

ABSTRACT

Cheng, Gurski, and Riehl constructed a cyclic double multicategory of multivariable adjunctions. We show that the same information is carried by a double polycategory, in which opposite categories are polycategorical duals. Moreover, this double polycategory is a full substructure of a double Chu construction, whose objects are a sort of polarized category, and which is a natural home for 2-categorical dualities. We obtain the double Chu construction using a general "Chu-Dialectica" construction on polycategories, which includes both the Chu construction and the categorical Dialectica construction of de Paiva. The Chu and Dialectica constructions each impose additional hypotheses making the resulting polycategory representable (hence *-autonomous), but for different reasons; this leads to their apparent differences.

研究动机与目标

• 在统一的多范畴框架下，将范畴论中的Dialectica构造和Chu构造统一起来。
• 证明多变量伴随关系的多范畴自然源自Chu构造的2-范畴推广。
• 展示2-Chu-Dialectica构造为2-范畴对偶性和$\natural$-自对偶结构提供了自然的归属地。
• 通过揭示它们在多范畴中不同的表示性条件，阐明Dialectica构造与Chu构造之间的结构性差异。

提出的方法

• 在多范畴上引入广义的“Chu-Dialectica”构造，该构造同时扩展了经典的Chu构造和Dialectica构造。
• 将2-Chu-Dialectica构造定义为对象为带有对偶的极化范畴的多双范畴。
• 通过使用具有对偶化对象的对称张量范畴，将2-Chu-Dialectica构造构作为双Chu构造的一个全子结构。
• 利用多范畴中的泛性质，刻画所得结构中的张量积和对偶性。
• 证明所得的多变量伴随关系多范畴具有自然的循环性和对称性，其同态集上存在相容的对合与循环作用。
• 建立该构造通过表示性产生$\natural$-自对偶结构，且Dialectica与Chu情形下的表示性原因不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一多范畴框架内统一Dialectica构造与Chu构造？
• RQ2 2-Chu-Dialectica构造中张量积背后的泛性质是什么？
• RQ3 2-Chu-Dialectica构造如何捕捉多变量伴随关系的对偶性与循环结构？
• RQ4 为何Dialectica与Chu构造通过不同的表示机制产生$\natural$-自对偶范畴？
• RQ5 极化范畴在2-Chu-Dialectica构造中扮演何种角色，使其成为2-范畴对偶性的自然设置？

主要发现

• 2-Chu-Dialectica构造提供了一个多双范畴，完整捕捉了多变量伴随关系的结构，包括其循环性与对偶性特征。
• 该构造在单一多范畴框架内，将Dialectica与Chu构造作为特例加以推广。
• 所得的多变量伴随关系多范畴具有自然的循环性与对称性，其同态集上存在相容的对合与循环作用。
• Dialectica与Chu构造在表示性原因上存在差异：Dialectica通过内蕴同态实现，Chu通过拉回与伴随关系实现，但两者均产生$\natural$-自对偶结构。
• 2-Chu-Dialectica构造是双Chu构造的一个全子结构，后者为2-范畴对偶性提供了自然的归属地。
• 该构造揭示：2-Chu-Dialectica范畴中的张量积对应于满足特定交换图的三元态射，该图编码了伴随关系。