[論文レビュー] The Computational Complexity of Linear Optics

Scott Aaronson|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 58被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、非相互作用する光子を用いた線形光的ネットワークにおける量子コンピューティングフレームワークとしてボソンサンプリングモデルを導入し、古典的コンピューターでは解けないサンプリング問題を解けることを示している。もし古典的コンピューターがこのモデルを効率的にシミュレートできるならば、多項式階層が崩壊することを証明しており、これにより線形光学と恒等式計算のみを用いた量子優位性の強力な証拠が得られる。

ABSTRACT

We give new evidence that quantum computers -- moreover, rudimentary quantum computers built entirely out of linear-optical elements -- cannot be efficiently simulated by classical computers. In particular, we define a model of computation in which identical photons are generated, sent through a linear-optical network, then nonadaptively measured to count the number of photons in each mode. This model is not known or believed to be universal for quantum computation, and indeed, we discuss the prospects for realizing the model using current technology. On the other hand, we prove that the model is able to solve sampling problems and search problems that are classically intractable under plausible assumptions. Our first result says that, if there exists a polynomial-time classical algorithm that samples from the same probability distribution as a linear-optical network, then P^#P=BPP^NP, and hence the polynomial hierarchy collapses to the third level. Unfortunately, this result assumes an extremely accurate simulation. Our main result suggests that even an approximate or noisy classical simulation would already imply a collapse of the polynomial hierarchy. For this, we need two unproven conjectures: the "Permanent-of-Gaussians Conjecture", which says that it is #P-hard to approximate the permanent of a matrix A of independent N(0,1) Gaussian entries, with high probability over A; and the "Permanent Anti-Concentration Conjecture", which says that |Per(A)|>=sqrt(n!)/poly(n) with high probability over A. We present evidence for these conjectures, both of which seem interesting even apart from our application. This paper does not assume knowledge of quantum optics. Indeed, part of its goal is to develop the beautiful theory of noninteracting bosons underlying our model, and its connection to the permanent function, in a self-contained way accessible to theoretical computer scientists.

研究の動機と目的

• 線形光学に基づく量子コンピューターが、古典的コンピューターでは到達できない問題を解ける証拠を提供すること。
• 非相互作用するボソンが線形光的ネットワーク内で扱われるサンプリング問題としてボソンサンプリングモデルを形式化すること。
• このモデルの効率的古典的シミュレーションが、妥当な複雑性理論的予想のもとで多項式階層の崩壊を意味することを確立すること。
• 現時点の光子技術を用いた実験的実現の動機を提示すること、ただし非ユニバーサルであることに注意。

提案手法

• モデルは同一の光子を生成し、それを線形光的ユニタリー変換ネットワークを通過させ、各出力モードにおける光子数分布を測定する。
• 特定の測定結果の確率は、ユニタリー変換行列の部分行列の絶対値の二乗である恒等式に比例する。
• ボソンサンプリングのシミュレーションの難易度を、ランダムなガウス行列の恒等式を近似する計算の難易度に還元する。
• 二つの主要な予想を導入する：ガウス行列の恒等式予想（恒等式の近似は#P困難）と、恒等式反集中予想（恒等式の絶対値は通常大きく振る舞う）。
• 複雑性理論的還元を用いて、もし古典的シミュレーションが効率的ならば、P^#P = BPP^NP が成り立ち、多項式階層が崩壊することを示す。
• フレームワークは現在の光子技術で実験的に実現可能であり、量子ビットのエンタングルメントやユニバーサル量子ゲートを必要としない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形光学のみを用いた量子コンピューターは、古典的に解けないサンプリング問題を解けるか？
• RQ2 古典的コンピューターが線形光的量子系を効率的にシミュレートできる場合、どのような複雑性理論的結果が生じるか？
• RQ3 本論文で予想されているように、ランダムなガウス行列の恒等式の近似は#P困難であるか？
• RQ4 ランダム行列の恒等式が通常大きく振る舞うことが示せるか？これにより出力分布が少数の結果に集中しないことが保証されるか？
• RQ5 ボソンサンプリングによる量子優位性を示すために必要な最小限の実験的セットアップは何か？

主な発見

• もし古典的コンピューターがボソンサンプリングモデルを正確にシミュレートできるならば、P^#P = BPP^NP が成り立ち、多項式階層が第3レベルに崩壊することを意味する。
• ガウス行列の恒等式予想と恒等式反集中予想の下では、ボソンサンプリングの近似的な古典的シミュレーションですら、同様に多項式階層の崩壊を意味する。
• 本論文は、両予想を支持する数値的および理論的証拠を提供しており、特にガウス行列の恒等式が通常 √n! / poly(n) のオーダーであることが示され、非自明なサンプリング分布を保証する。
• このモデルは量子計算のユニバーサル性には欠けるが、それでも古典的に困難であると信じられているサンプリング問題を解く能力を持つ。
• このフレームワークは現在の光子技術で実験的に実現可能であり、大規模な量子コンピューターを必要とせずに量子優位性の実証に向けた道筋を提供する。
• 結果から、線形光的量子系は拡張されたチャーチ＝チューリング仮説の破れを示す、現時点で知られている最も強い証拠を提供する可能性がある。