[论文解读] The image of Colmez's Montreal functor

Vytautas Paškūnas|arXiv (Cornell University)|May 12, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 35被引用 10

一句话总结

该论文证明了关于 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 的不可约酉 $p$-进 Banach 空间表示中不变格的模 $p$ 约化之 Colmez 猜想，其中 $p \geq 5$，并确立了该约化要么是上超奇异的，要么是主系列的子商。该结果使得 $p$-进局部 Langlands 对应关系得以更清晰地重新表述，并证实了 Breuil 关于局部代数表示的酉完备化的猜想。

ABSTRACT

We prove a conjecture of Colmez concerning the reduction modulo $p$ of invariant lattices in irreducible admissible unitary $p$-adic Banach space representations of $GL_2(Q_p)$ with $p\ge 5$. This enables us to restate nicely the $p$-adic local Langlands correspondence for $GL_2(Q_p)$ and deduce a conjecture of Breuil on irreducible admissible unitary completions of locally algebraic representations.

研究动机与目标

• 证明关于 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 的不可约酉 $p$-进 Banach 表示中不变格的模 $p$ 约化的 Colmez 猜想。
• 利用约化结果，以更清晰、更结构化的方式重新表述 $p$-进局部 Langlands 对应关系。
• 从主定理推导出 Breuil 关于局部代数表示的不可约酉殆齐次完备化的猜想。
• 在模 $p$ 约化结构与形变环及伽罗瓦表示的几何之间建立精确联系。

提出的方法

• 利用 Colmez 的 Montreal 赋函 $\mathbf{V}$，这是一个从 $\mathcal{O}$-挠表示到伽罗瓦表示的正合协变 $\mathcal{O}$-线性赋函。
• 分析单位酉殆齐次 Banach 空间表示 $\Pi$ 中开有界 $G$-不变格 $\Theta$ 的模 $p$ 约化。
• 应用伽罗瓦表示的形变理论与扩张理论，研究 $\mathbf{V}(\Pi) = \varinjlim \mathbf{V}(\Theta / \varpi^n \Theta)$ 的结构。
• 利用模 $p$ 表示范畴中 Cayley-Hamilton 商与块的理论，分析可约情形。
• 利用 Hecke 代数的结构与形变环的几何，证明 $\mathbf{V}(\Pi)$ 是一个具有行列式 $\zeta \varepsilon$ 的二维伽罗瓦表示。
• 通过迹与行列式条件，建立形变环与伽罗瓦形变空间之间的同构，证明 $\alpha: R_{21} \to R_{12}$ 是一个同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 的不可约酉 $p$-进 Banach 表示中，不变格的模 $p$ 约化结构是怎样的？
• RQ2 对于非典型表示，$p$-进局部 Langlands 对应关系的行为如何？是否可以更清晰地重新表述？
• RQ3 Montreal 赋函 $\mathbf{V}$ 是否为每个不可约酉 Banach 表示分配一个二维伽罗瓦表示？
• RQ4 是否能从模 $p$ 约化结构推导出 Breuil 关于局部代数表示的酉完备化猜想？

主要发现

• 对于 $p \geq 5$，不可约酉 Banach 表示 $\Pi$ 中开有界 $G$-不变格 $\Theta$ 的模 $p$ 约化 $\Theta \otimes_{\mathcal{O}} k$ 是有限长的。
• 该约化要么是绝对不可约且上超奇异的，要么是主系列表示 $\operatorname{Ind}_P^G(\chi_1 \otimes \chi_2 \omega^{-1}) \oplus \operatorname{Ind}_P^G(\chi_2 \otimes \chi_1 \omega^{-1})$ 的子商。
• 当且仅当 $\Pi$ 是典型表示时，该约化不与直和同构，此时 $\dim_L \mathbf{V}(\Pi) < 2$。
• 赋函 $\mathbf{V}$ 在具有中心特征标 $\zeta$ 的绝对不可约非典型酉 Banach 表示的同构类与具有行列式 $\zeta \varepsilon$ 的 $L$-表示的绝对不可约二维 $\mathcal{G}_{\mathbb{Q}_p}$-表示之间诱导出一个双射。
• 环 $\operatorname{End}_{\mathcal{G}_{\mathbb{Q}_p}}(\tilde{\rho}_{ij} \oplus \tilde{\rho}_{ji})[1/c]$ 同构于 $R^{\mathrm{ps}}_{\chi}[1/c]$ 上的 $2 \times 2$ 矩阵环，其中 $c$ 生成可约性理想。
• 环 $\operatorname{End}_{\mathcal{G}_{\mathbb{Q}_p}}(\tilde{\rho}_{ij} \oplus \tilde{\rho}_{ji})$ 的中心同构于 $R^{\mathrm{ps}}_{\chi}$，且该自同态环是 $R^{\mathrm{ps}}_{\chi}$ 上的秩为 4 的自由模。