[论文解读] Time-inconsistent stochastic control: solving the extended HJB system is a necessary condition for regular equilibria

Kristoffer Lindensjö|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文证明，在时间不一致随机控制问题中，求解扩展的哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）系统是正规均衡的必要条件。在具有通用时间不一致运行收益和终端收益的一般马尔可夫伊藤扩散框架下，本文证明任何正规均衡必须对应于扩展HJB系统的经典解，从而通过提供必要与充分条件，完整刻画了均衡的性质。

ABSTRACT

Time-inconsistent stochastic control is a game-theoretic generalization of standard stochastic control, with well-known applications in economics and finance. One of the most important results of standard (time-consistent) stochastic control is the characterization of the optimal value function as the unique solution to the Hamilton-Jacobi-Bellman equation (HJB). Naturally, we hope that time-inconsistent stochastic control problems offer a similar possibility. Indeed, Bj\ork, Khapko & Murgoci (2016) introduce a system of PDEs, the extended HJB system, and prove a verification theorem saying that if the extended HJB system has a (classical) solution then this solution is in fact the equilibrium of a corresponding time-inconsistent stochastic control problem (i.e. sufficient conditions for equilibria are presented). The main contribution of the present paper is to show that a regular equilibrium of a time-inconsistent stochastic control problem (if it exists) is necessarily a (classical) solution to a corresponding extended HJB system (i.e. we present necessary conditions for regular equilibria). Our model is that of a general (Markovian) It\^o diffusion and general time-inconsistent running and terminal payoff functions.

研究动机与目标

• 通过建立正规均衡的必要条件，填补时间不一致随机控制理论中的关键空白。
• 扩展Björk、Khapko与Murgoci（2016）的验证定理，该定理通过扩展HJB系统提供了充分条件，本文进一步证明此类解也是必要条件。
• 在具有任意时间不一致运行收益和终端收益函数的一般马尔可夫伊藤扩散设定下分析均衡。
• 通过证明扩展HJB系统可完全刻画正规均衡，统一时间不一致控制的理论基础。

提出的方法

• 作者在具有时间依赖运行收益和终端收益函数的一般马尔可夫伊藤扩散框架下，构建了一个时间不一致随机控制问题的通用形式。
• 他们将正规均衡定义为一种满足时间一致性条件的控制策略，以反映战略上的时间不一致性。
• 通过动态规划论证和扩展HJB系统的结构，推导出此类均衡的必要条件。
• 他们证明，任何正规均衡必须对应于扩展HJB系统的经典解，采用适用于时间不一致设定的验证技术。
• 该分析依赖于扩展HJB系统光滑解的存在性以及底层扩散过程的马尔可夫性质。
• 该方法建立了正规均衡与扩展HJB系统经典解之间的一一对应关系，从而完成理论刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时间不一致随机控制问题中，扩展HJB系统的解是否不仅充分，而且必要于正规均衡？
• RQ2 在具有时间不一致收益的一般马尔可夫扩散模型中，扩展HJB系统是否能完全刻画正规均衡？
• RQ3 在何种条件下，正规均衡必然源于扩展HJB系统的经典解？
• RQ4 对于一般的时间不一致运行和终端收益函数，扩展HJB系统的必要性是否仍然成立？
• RQ5 时间不一致结构如何影响扩展HJB框架下均衡的存在性与唯一性？

主要发现

• 在时间不一致随机控制问题中，正规均衡必须对应于扩展HJB系统的经典解。
• 在给定的马尔可夫伊藤扩散框架下，扩展HJB系统不仅是充分条件，也是必要条件，用于刻画正规均衡。
• 该结果通过建立正规均衡与扩展HJB系统经典解之间的一一对应关系，完整奠定了理论基础。
• 该必要性结果在一般的时间不一致运行和终端收益函数下成立，无需特定函数形式假设。
• 该分析确认，扩展HJB系统在所研究的问题类别中可完全刻画正规均衡。
• 研究结果验证了扩展HJB系统作为识别和分析时间不一致控制中正规均衡的规范工具的地位。