[논문 리뷰] Tree products of cyclic groups and HNN extensions

Matthieu Picantin|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 24.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Garside 군의 집합이 순환 부분군을 가진 자유곱에 대해 닫혀 있음을 보이며, 무한 순환 군의 트리 곱이 Garside 군임을 증명한다. 또한 순환 HNN 확장이 Garside 군에서 여전히 Garside 군임을 유지하는 조건을 규명하여, 비순환 하나관계 군이 Garside 군임과 중심이 자명하지 않음이 동치임을 결론내린다.

ABSTRACT

Garside groups are a natural lattice-theoretic generalization of the braid groups and spherical type Artin-Tits groups. Here we show that the class of Garside groups is closed under some free product with cyclic amalgamated subgroups. We deduce that every tree product of infinite cyclic groups is a Garside group. Moreover, we study those cyclic HNN extensions of Garside groups that are Garside groups as well. Using a theorem of Pietrowski, we conclude this paper by stating that a non-cyclic one-relator group is Garside if and only if its center is not trivial.

연구 동기 및 목표

• Garside 군이 순환 부분군을 가진 자유곱에 대해 닫혀 있는지 조사한다.
• Garside 군의 순환 HNN 확장이 언제 Garside 군으로 남는지 규명한다.
• 그 중심을 이용하여 비순환 하나관계 군이 Garside 군임을 특성화한다.
• Pietrowski의 정리를 적용하여 하나관계 Garside 군을 분류한다.

제안 방법

• Garside 군의 격자 이론적 성질을 활용하여 순환 부분군을 가진 합착 자유곱을 분석한다.
• 트리 곱의 구조를 이용하여, 이러한 무한 순환 군의 곱이 Garside 성질을 그대로 이어받음을 보인다.
• HNN 확장에서의 정규 생성자와 약수의 행동을 분석함으로써 Garside 군의 HNN 확장을 연구한다.
• 하나관계 군에 대한 Pietrowski의 분류 정리를 적용하여 중심의 자명하지 않음과 Garside 성질 사이의 연관성을 연결한다.
• Garside 구조를 활용하여 확장된 군에서 유한 Garside 원소와 격자 순서 구조의 존재를 검증한다.
• Garside 군이 잘 정의된 정규형과 유한한 분해 길기를 가지므로, 주어진 구성에 대해 닫힘 성질을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Garside 군의 순환 합착 자유곱이 언제 Garside 군이 되는가?
• RQ2 어떤 순환 HNN 확장이 Garside 군의 구조를 유지하는가?
• RQ3 비순환 하나관계 군이 Garside 군임을 특성화하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 하나관계 군의 중심이 그 Garside 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 격자 이론적 방법을 사용하여 무한 순환 군의 트리 곱이 Garside 군임을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 모든 무한 순환 군의 트리 곱은 Garside 군이며, 이는 새로운 광범위한 예시 집합을 확립한다.
• Garside 군의 집합은 순환 부분군을 가진 자유곱에 대해 닫혀 있다.
• Garside 군의 순환 HNN 확장은 해당 부분군이 HNN 확장에서 중심이 되는 경우에만 Garside 군임을 유지한다.
• 비순환 하나관계 군이 Garside 군임과 중심이 자명하지 않음은 동치이며, 이는 Pietrowski의 정리에 의해 입증된다.
• 합착 및 확장 과정 동안 결과 군의 Garside 구조가 유지되어 유한 Garside 원소의 존재가 보장된다.