[论文解读] Two variable degenerate Bell polynomials associated with Poisson degenerate central moments

Dae San Kim, Taekyun Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文将单变量退化贝尔多项式推广为双变量退化贝尔多项式，建立了其与泊松退化中心矩及切勒尔多项式之间的联系。主要贡献在于推导出这些多项式与退化斯特林数之间的显式公式，并证明了统一退化矩生成函数与正交多项式系的恒等式。

ABSTRACT

In this paper, we introduce two variable degenerate Bell polynomials as a generalization of the degenerate Bell polynomials which were studied earlier. Among other things, we show their connections with Poisson degenerate central moments and Charlier polynomials.

研究动机与目标

• 将单变量退化贝尔多项式推广为双变量框架。
• 建立双变量退化贝尔多项式与泊松退化中心矩之间的联系。
• 利用生成函数和退化斯特林数，推导双变量退化贝尔多项式的显式表达式。
• 通过退化斯特林数恒等式，探索这些多项式与切勒尔多项式之间的关系。
• 为退化矩生成函数与正交多项式系提供统一框架。

提出的方法

• 通过涉及退化指数函数 $ e_ ho^x(t) = (1 + \rho t)^{x/\rho} $ 的生成函数定义双变量退化贝尔多项式。
• 用退化贝尔多项式表示这些多项式，并在参数相等时证明其退化为单变量情形。
• 将退化泊松随机变量的 $ (X - \beta)^n $ 的期望定义为退化泊松中心矩，并证明其等于双变量退化贝尔多项式。
• 通过生成函数的运算和系数提取，推导双变量退化贝尔多项式的显式公式。
• 将斯特林型数定义为 $ \beta^n $ 关于 $ \beta^{(k)} $ 展开中的系数，并将其与第二类退化斯特林数联系起来。
• 通过涉及 $ e^{\beta t}(1+t)^{\beta - \beta} $ 的生成函数恒等式以及与 $ \text{log}_\rho(1+t) $ 的复合，建立与切勒尔多项式之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持其结构与概率性质的前提下，将单变量退化贝尔多项式推广为双变量形式？
• RQ2 双变量退化贝尔多项式与退化泊松分布的中心矩之间存在何种关系？
• RQ3 通过 $ \beta^n $ 展开定义的斯特林型数如何与第二类退化斯特林数相关联？
• RQ4 通过退化斯特林数，双变量退化贝尔多项式与切勒尔多项式之间的哪些恒等式成立？
• RQ5 能否使用生成函数技术推导出双变量退化贝尔多项式的闭式表达式？

主要发现

• 当两个参数相等时，双变量退化贝尔多项式 $ \text{Bel}_{n,\rho}(\beta, \beta) $ 退化为单变量退化贝尔多项式 $ \text{Bel}_{n,\rho}(\beta) $。
• 对于参数为 $ \beta $ 的退化泊松随机变量，其退化中心矩 $ E[(X - \beta)^n] $ 等于双变量退化贝尔多项式 $ \text{Bel}_{n,\rho}(\beta, \beta) $，从而建立了其概率解释。
• 推导出 $ \text{Bel}_{n,\rho}(\beta, \beta) $ 的显式公式为 $ \text{Bel}_{n,\rho}(\beta, \beta) = \frac{1}{n!} \frac{d^n}{dt^n} \big[ e^{\beta(e_\rho(t) - 1)} e_\rho^{-\beta}(t) \big]_{t=0} $，该式可简化为关于退化斯特林数的求和形式。
• 当一个参数设为零时，斯特林型数 $ S_{\rho}^{(2)}(n,k) $ 成为展开式 $ \beta^n = \frac{1}{n!} \frac{d^n}{dt^n} \big[ e^{\beta t} (1+t)^{-\beta} \big]_{t=0} $ 中的系数，并通过 $ S_{\rho}^{(2)}(n,k) = \frac{1}{k!} \frac{d^k}{dt^k} \big[ (e_\rho(t) - 1)^k \big]_{t=0} $ 与第二类退化斯特林数相关联。
• 定理8与定理9建立了对偶关系：$ \text{Bel}_{n,\rho}(\beta, \beta) = \bigsum_{k=0}^n C_k(\beta - \beta; -\beta) S_{2,\rho}(n,k) $ 与 $ C_n(\beta - \beta; -\beta) = \bigsum_{k=0}^n \text{Bel}_{k,\rho}(\beta, \beta) S_{1,\rho}(n,k) $，通过退化斯特林数将多项式与切勒尔多项式联系起来。