[论文解读] Universality in the tripartite information after global quenches

Vanja Marić, Maurizio Fagotti|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2022

Quantum many-body systems被引用 7

一句话总结

本文研究了全局淬火后一维量子自旋链中Rényi三体关联信息 $I_3^{(\alpha)}$，发现在长时间极限下其表现出与交叉比 $x$ 相关的普遍标度行为。对于对偶于自由费米子的体系，残差三体关联信息——定义为 $x \to 1^{-}$ 的极限——普遍为 $-\log 2$，且与Rényi指数 $α$ 无关，表明淬火后定态中存在非零的普遍量子纠缠特征。

ABSTRACT

We consider macroscopically large 3-partitions $(A,B,C)$ of connected subsystems $A\cup B \cup C$ in infinite quantum spin chains and study the Rényi-$α$ tripartite information $I_3^{(α)}(A,B,C)$. At equilibrium in clean 1D systems with local Hamiltonians it generally vanishes. A notable exception is the ground state of conformal critical systems, in which $I_3^{(α)}(A,B,C)$ is known to be a universal function of the cross ratio $x=|A||C|/[(|A|+|B|)(|C|+|B|)]$, where $|A|$ denotes $A$'s length. We identify different classes of states that, under time evolution with translationally invariant Hamiltonians, locally relax to states with a nonzero (Rényi) tripartite information, which furthermore exhibits a universal dependency on $x$. We report a numerical study of $I_3^{(α)}$ in systems that are dual to free fermions, propose a field-theory description, and work out their asymptotic behaviour for $α=2$ in general and for generic $α$ in a subclass of systems. This allows us to infer the value of $I_3^{(α)}$ in the scaling limit $x ightarrow 1^-$, which we call ``residual tripartite information''. If nonzero, our analysis points to a universal residual value $-\log 2$ independently of the Rényi index $α$, and hence applies also to the genuine (von Neumann) tripartite information.

研究动机与目标

• 理解全局淬火后一维量子自旋链中三体关联信息的长时间行为。
• 确定Rényi三体关联信息在定态中保持非零且普遍的条件。
• 确定在 $x \to 1^{-}$ 极限下是否存在普遍残差三体关联信息，对应于块之间分离较小时的情况。
• 在标度极限下建立 $I_3^{(\alpha)}$ 的场论描述，并通过数值方法加以验证。
• 探索普遍值 $-\log 2$ 在不同淬火协议和模型中的普适性。

提出的方法

• 本研究聚焦于广义XY模型的自由费米子对偶体系，利用Jordan-Wigner变换将自旋链映射为非相互作用费米子。
• 通过费米子关联矩阵 $\Gamma_{\ell n} = \delta_{\ell n} - \langle a_\ell a_n \rangle$ 计算Rényi-α三体关联信息，熵值由约化密度矩阵的本征值导出。
• 对于不相交的块，采用基于参考文献[24]和[39]的广义算法，通过四个关联矩阵计算 $S_\alpha(A \cup C)$，仅保留在定态中的长程项。
• 长时间定态由广义吉布斯系综描述，其关联矩阵通过数值方法提取。
• 针对 $\alpha=2$ 的渐近行为进行解析推导，并对一般 $\alpha$ 提出猜想，场论描述基于费米子两点函数。
• 通过数值计算交叉比依赖关系 $G_\alpha(x)$，并与解析预测进行比较，尤其关注 $x \to 1^{-}$ 极限。

Figure 1: Rényi-2 tripartite information for the quench in the XY model $(J_{x},J_{y},h):(1,1,1)\rightarrow(1,0.5,0.5)$ for $|A|=|C|\in\{45,90,180,360\}$ and variable $|B|$ . The solid curve is prediction ( 9 ). Inset: the relative error $\eta_{3}^{(2)}$ as a function of $l=\min(|A|,|B|,|C|)$ for al

实验结果

研究问题

• RQ1 在1D量子系统中，全局淬火后长时间极限下Rényi三体关联信息是否保持非零且普遍？
• RQ2 在 $x \to 1^{-}$ 极限下是否可能出现普遍残差三体关联信息？若存在，其值是多少？
• RQ3 残差三体关联信息是否与Rényi指数 $\alpha$ 无关？其是否可推广至冯诺依曼情形（$\alpha \to 1$）？
• RQ4 $I_3^{(\alpha)}$ 的场论描述与CFT预测相比如何，尤其在缺乏交叉对称性的情况下？
• RQ5 缓慢衰减的相关性在实现定态中普遍且非零的三体关联信息中起什么作用？

主要发现

• 在 $x \to 1^{-}$ 极限下，残差三体关联信息普遍为 $-\log 2$，且与Rényi指数 $\alpha$ 无关，包括在冯诺依曼极限（$\alpha \to 1$）下亦成立。
• 对于 $\alpha = 2$，渐近行为被解析预测为 $G_2(x) = \log\left(\frac{1 + (1 - x)^\gamma}{2}\right)$，其在 $G_2(1^{-}) = -\log 2$ 处成立。
• 针对 $G_2(x)$ 的数值结果与解析预测高度一致，证实了在不同淬火协议和费米子参数下均存在普遍行为。
• 该体系不表现出交叉对称性，因此 $G_\alpha(x) \neq G_\alpha(1 - x)$，但 $x \to 1^{-}$ 极限仍保持普遍性且等于 $-\log 2$。
• 仅当关联缓慢衰减时，残差三体关联信息才非零，其在热态或能隙体系中消失，表明这是非平衡态下一种独特的普遍特征。
• 该结果表明，$-\log 2$ 可能是1D系统在全局淬火后某些非热、长寿命量子态的普遍特征。

Figure 2: Rényi- $\alpha$ tripartite information at infinite time after the quench from $\ket{\ldots\uparrow\uparrow\downarrow\downarrow\ldots}$ under the XY Hamiltonian ( 3 ) with $(J_{x},J_{y},h)=(1,0.5,0)$ for $|A|=|C|\in\{50,100,150,200\}$ and variable $|B|$ . The solid curves are predictions (