[論文レビュー] Virtual fundamental classes of derived stacks I

Adeel A. Khan|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、エタール・モチビック・ボレル–ムーブ homology と導来版の内因的正規被覆の使用により、準滑らかである導来アーティンスタックの仮想基本類を構成する。関手性、基底変換、余剰交差、グロタンディーク–リーマン–ロッホの公式を確立し、非横断的ベズーの定理とアーティンスタックにおける絶対的純粋性を証明する。これはガブラーの結果を古典的状況を超えて拡張する。

ABSTRACT

We construct the étale motivic Borel-Moore homology of derived Artin stacks. Using a derived version of the intrinsic normal cone, we construct fundamental classes of quasi-smooth derived Artin stacks and demonstrate functoriality, base change, excess intersection, and Grothendieck-Riemann-Roch formulas. These classes also satisfy a general cohomological Bézout theorem which holds without any transversity hypotheses. The construction is new even for classical stacks and as one application we extend Gabber's proof of the absolute purity conjecture to Artin stacks.

研究の動機と目的

• 導来代数幾何学を用いて、準滑らかである導来アーティンスタックの仮想基本類理論を構築すること。
• 内因的正規被覆の構成を導来スタックへ一般化し、ベイリッド–ファンテキの理論の導来版を可能にすること。
• 導来設定における仮想クラスに関して、関手性、基底変換、余剰交差の公式を確立すること。
• 横断性の仮定なしに、コhomological ベズーの定理を定式化・証明することにより、古典的交差理論を拡張すること。
• 導来手法を用いて、ガブラーの絶対的純粋性予想の証明をアーティンスタックの設定へ拡張すること。

提案手法

• ヴォエバドスキーの安定モチビックホモトピー圏とその導来スキームへの拡張を用いて、導来アーティンスタックのエタール・モチビック・ボレル–ムーブ homology を構成する。
• 古典的構成を一般化する形で、導来内因的正規被覆を、導来スタック上のベクトルバンドルスタックとして導入する。
• 正規被覆スタックへの変形を用いて、専用写像を定義し、仮想基本類の構成を可能にする。
• 専用写像によって誘導されるギシン写像を用いて、ホモロジーにおける単位の像として仮想基本類を定義する。
• ベクトルバンドルスタックにおけるホモトピー不変性とポincare双対性を用いて、仮想クラスを内在的な幾何的データに関連付ける。
• 基底変換と純粋性を含む6操作フレームワークを導来アーティンスタックに適用し、関手性および適合性に関する結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、古典的状況を一般化する形で、準滑らかである導来アーティンスタックの仮想基本類を構成できるか？
• RQ2 内因的正規被覆の導来版とは何か？また、基底変換および合成に関してどのように振る舞うか？
• RQ3 横断性の仮定なしに、導来設定において非横断的ベズーの定理を定式化・証明できるか？
• RQ4 6操作フレームワークをどのように導来アーティンスタックへ拡張し、モチビック homology とギシン写像を支援できるか？
• RQ5 導来代数幾何学を用いて、ガブラーの絶対的純粋性予想をアーティンスタックの設定へ拡張できるか？

主な発見

• 仮想基本類 $[\mathcal{X}/\mathcal{Y}]^{\mathrm{vir}}$ は、正規被覆スタックへの変形によって誘導されるギシン写像の下で、モチビック・ボレル–ムーブ homology における単位の像として構成される。
• この構成は関手性および基底変換を満たし、ギシン写像 $f^!$ は専用写像とホモトピー不変性によって定義される。
• 横断性の仮定なしに一般化されたコhomological ベズーの定理が成り立ち、仮想クラスは任意の基底変換に関して安定である。
• 仮想クラスは余剰交差の公式およびグロタンディーク–リーマン–ロッホに適合し、古典的結果を導来設定へ拡張する。
• 論文は、導来的手法とモチビックホモトピー理論における6操作フレームワークを用いて、アーティンスタックにおける絶対的純粋性を証明する。
• 導来6操作、純粋性および基底変換を含むものが、導来アーティンスタックへ拡張され、逆転可能な交換変換およびオイラー類がモチビック圏上の自然変換によって定義される。