[論文レビュー] A geometric construction of Getzler's relation

Rahul Pandharipande|ArXiv.org|May 17, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、有理同値の押し出しを、適切な被覆の空間から行うことで、4点付き楕円曲線のモジュライ空間におけるゲツラーのコhomological関係の幾何的構成を提供し、関係が有理同値であることを証明する。さらに、ゲツラーの方程式とWDVV方程式を用いて、ℙ²の楕円的Gromov-Witten不変量の再帰的関係を確立し、エグッチ、ホリ、シオングの予想を確認する。

ABSTRACT

A geometric construction of Getzler's cohomological relation in the moduli space of 4 pointed elliptic curves is given by a push-forward of a natural rational equivalence in a space of admissible covers. In particular, Getzler's relation is shown to be a rational equivalence. The recursion for the elliptic Gromov-Witten invariants of P^2 predicted by Eguchi, Hori, and Xiong from the Virasoro conjecture is proven via Getzler's equation and the WDVV-equations.

研究の動機と目的

• 4点付き楕円曲線のモジュライ空間におけるゲツラーのコhomological関係の幾何的実現を提供すること。
• ゲツラーの関係が、適切な被覆の空間からの押し出しを通じて有理同値として生じることを示すこと。
• ゲツラーの方程式とWDVV方程式を用いて、ℙ²の楕円的Gromov-Witten不変量の再帰的関係を確立すること。
• バーラソロ予想に基づく、エグッチ、ホリ、シオングによるこれらの不変量の構造に関する予想を確認すること。

提案手法

• 指定された分岐を持つ楕円曲線への4次被覆をパラメトライズする適切な被覆の空間を構成する。
• この適切な被覆の空間における自然な有理同値を定義する。
• この有理同値に押し出し写像を適用し、4点付き楕円曲線のモジュライ空間における関係を得る。
• 得られたコhomologyにおける関係が、既知のゲツラーのコhomological関係と一致することを示す。
• 得られた有理同値を用いて、ℙ²の楕円的Gromov-Witten不変量の再帰的関係を導出する。
• 再帰的関係とWDVV方程式を組み合わせ、エグッチ、ホリ、シオングの予想を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4点付き楕円曲線のモジュライ空間におけるゲツラーのコhomological関係は、幾何的手段によって有理同値として実現可能か？
• RQ2 適切な被覆は、モジュライ空間における関係に降下する有理同値を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ3 ゲツラーの関係の幾何的構成は、ℙ²のGromov-Witten不変量の再帰的関係をどのように導くか？
• RQ4 WDVV方程式とゲツラーの方程式が、同時に楕円的Gromov-Witten不変量の構造をどの程度まで決定するか？
• RQ5 幾何的構成は、エグッチ、ホリ、シオングによるこれらの不変量の形に関する予想を確認するか？

主な発見

• ゲツラーのコhomological関係が、適切な被覆の空間における幾何的構成によって有理同値であることが示された。
• 適切な被覆の空間からのタウトロジカルクラスの押し出しは、4点付き楕円曲線のモジュライ空間における所望の関係をもたらす。
• この構成により、ゲツラーの関係に明確な幾何的起源が与えられ、コhomologyから有理同値のレベルへと上昇された。
• ゲツラーの方程式の幾何的表現とWDVV方程式を用いて、ℙ²の楕円的Gromov-Witten不変量の再帰的関係が導出された。
• 再帰的関係は、バーラソロ予想に基づくエグッチ、ホリ、シオングの予想を確認した。
• この結果により、モジュライ空間におけるタウトロジカル関係とGromov-Witten理論における数え上げ不変量との深い関係が確立された。