[論文レビュー] A Local Resolution of the Problem of Time. IX. Spacetime Constructability

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 36被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論の時空構造を、関係的原理—時空的関係主義および配置的関係主義—からLie代数的整合性アルゴリズムを用いて導出することで、量子重力における時空問題を解決する。一般相対性理論、ガリレオ＝リーマン幾何的静力学、および強力な重力が、整合性条件から導かれる二次方程式の唯一の妥当な解として現れ、有限・無限・ゼロの伝播速度の三つ巴の状況が代数的に表現される。主な結果は、時空の構築可能性が、時空を仮定するのではなく、関係的力学とLie剛性から自然に生じることである。

ABSTRACT

Assuming Temporal and Configurational Relationalism, GR as Geometrodynamic's DeWitt supermetric alongside local Lorentzian Relativity with its universal finite maximum propagation speed arises as one of very few options from Feeding Families through a Dirac-type Algorithm for Consistency. This amounts to Spacetime Construction from prior assumptions about space and dynamics alone. The other alternatives, arising as cofactors' likewise strongly vanishing roots are, firstly, Galileo-Riemann Geometrostatics with Galilean Relativity's infinte propagation speed. Secondly, Strong Gravity with Carrollian Relativity 's zero propagation speed. If none of these vanish, constant mean curvature of the spatial slice is enforced, paralleling previous work on decouping GR's constraints and addressing its initial-value problem. Assuming just Temporal Relationalism, spatial 3-diffeomorphism Configurational Relationalism is enforced as an integrability as one of very few options. The alternatives here are, once again, Galileo-Riemann Geometrostatics and Strong Gravity, for which spatial 3-diffeomorphisms are thereby optional, and local volume preserving diffeomorphisms. Options are few in each case above due to Rigidity kicking in. We furthermore demonstrate that such Rigidities are more generally Lie rather than specific to Dirac-type Algorithms. We do this by deriving the conformal versus projective ambiguity in top-geometry by feeding the general quadratic generator into the Lie Algorithm for Consistency. Both Feeding Families through a Brackets Consistency Algorithm and Rigidity are thus additionally of relevance to the Foundations of Geometry.

研究の動機と目的

• 量子重力における時空問題を、関係的原理のみから時空構造を導出することで解決すること。
• 一般相対性理論、ガリレオ＝リーマン幾何的静力学、強力な重力が、関係的力学から導かれる整合性方程式の唯一の整合的解であることを示すこと。
• 時空構築可能性が、時空を仮定することではなく、空間的および動的関係的主義の整合性条件から生じることを確立すること。
• Lie代数の剛性—単にディラック型のアルゴリズムを超えて—が、共形幾何や射影幾何のような幾何的構造の出現を規定する根拠であることを示すこと。
• Lie括弧を量子レベルでの時空構築の類似物と特定することで、量子レベルにおける時空問題の解決の基盤を築くこと。

提案手法

• w, y, a, bでパrameter化された幾何的力学理論の族を、関係的主義を強制するディラック型の整合性アルゴリズムに供給する。
• 理論空間に時空的関係主義および配置的関係主義を制約として適用し、二次整合性方程式を導出する。
• 一般二次生成子に対するLieアルゴリズムを用いて、射影幾何と共形幾何を同一の方程式の根として導出する。
• 超計量およびその逆行列（MおよびN成分を介して）を用いて作用の運動項を定義し、w = x = y = 1のとき一般相対性理論を回復するようにパラメータを調整する。
• 一般二次生成子の自己括弧を解析し、強く消える根（＝妥当な時空理論に対応）を特定する。
• 「発見して符号化」アプローチを用いて、時空的関係主義のみで空間3次元微分同相変換不変性が可積分性条件として強制されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空的関係主義および配置的関係主義の両方に整合するどの時空理論が存在し、それらはより広いクラスからどのように選別されるか？
• RQ2 局所的ローレンツ的相対性および有限伝播速度の出現が、仮定ではなく整合性条件から導けるか？
• RQ3 Lie代数の剛性は、幾何的基礎の文脈でディラック型アルゴリズムをどのように一般化するか？
• RQ4 トップ幾何における共形的・射影的曖昧性の役割は何か、そして整合性条件によってどのように解消されるか？
• RQ5 Lie括弧を量子レベルでの時空構築の類似物と特定することで、量子レベルで時空問題を解決できるか？

主な発見

• 一般相対性理論、ガリレオ＝リーマン幾何的静力学、強力な重力は、時空的および配置的関係主義から導かれる整合性方程式の唯一の三つの妥当な解である。
• 有限・無限・ゼロの伝播速度の三つ巴の状況が、整合性条件から生じる二次方程式の三つの根として代数的に符号化されている。
• 三つの根のいずれも消えない場合、空間断片の一定平均曲率が強制され、一般相対性理論の初期値問題に関する先行研究と一致する。
• 空間3次元微分同相変換不変性は仮定されず、時空的関係主義のみで可積分性条件として強制され、代替として体積保存型微分同相変換が現れる。
• 平坦空間の共形幾何と射影幾何が、一般二次生成子の自己括弧から導かれる単一の代数方程式の二つの根として出現する。
• Lie代数の剛性が、ディラック型のポincare括弧の剛性を越えてより一般的なメカニズムであることが示され、この手法により有限次元の自己同型群が回復され、特異な場合（例：2次元におけるConf(d)）を除き無限の段階的発展は除外される。