[論文レビュー] A Riemann--Hilbert correspondence for infinity local systems

Jonathan Block, Aaron Smith|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、コンパクト多様体 $M$ 上の平坦な $\bbZ$-次数付き $A^0$-加群の dg-圏と $M$ 上の無限局所系統の dg-圏の間で、$A_\infty$-準同値を確立する。これは、高次ホロノミー輸送を用いて、古典的なリーマン＝ヒルベルト対応を高次ホモトピー型へ一般化したものである。主な結果は、反復積分と Dold–Kan 対応を用いた完全忠実かつ quasi-本質的全射な対応である。

ABSTRACT

We describe an $A_\infty$-quasi-equivalence of dg-categories between the first authors' $\mathcal{P}_{\mathcal{A}}$ ---the category of category of prefect $A^0$-modules with flat $\Z$-connection, corresponding to the de Rham dga $\mathcal{A}$ of a compact manifold $M$--- and the dg-category of \emph{infinity-local systems} on $M$ ---homotopy coherent representations of the smooth singular simplicial set of $M$, $\Pinf$. We understand this as a generalization of the Riemann--Hilbert correspondence to $\Z$-connections ($\Z$-graded superconnections in some circles). In one formulation an infinity-local system is simplicial map between the simplicial sets $π_{\infty}M$ and a repackaging of the dg-category of cochain complexes by virtue of the simplicial nerve and Dold-Kan. This theory makes crucial use of Igusa's notion of higher holonomy transport for $\Z$-connections which is a derivative of Chen's main idea of generalized holonomy.

研究の動機と目的

• 古典的なリーマン＝ヒルベルト対応を $π_1(M)$ を超えて、完全なホモトピー型 $π_∞ M$ へ一般化すること。
• dg-圏におけるコチェーン複体の間のホモトピー整合的表現として、無限局所系統の概念を定義し形式化すること。
• 高次ホロノミーを用いて、平坦な $\bbZ$-次数付き接続から無限局所系統へのリーマン＝ヒルベルト関手 $ρρ$ を構成すること。
• この関手が $A_\infty$-準同値であることを証明し、2つの dg-圏の導来同値性を確立すること。
• 逆方向が層論的技法および Illusie の定理による擬準同型分解を用いて構成可能であることを示すこと。

提案手法

• 無限局所系統を、smooth singular 単体的集合 $π_∞ M$ から、$\bbR$ 上のコチェーン複体の dg-圏の単体的ナーヴへの単体的写像として定義し、ホモトピー整合的表現を符号化する。
• Chen の反復積分に基づく Igusa の高次ホロノミー輸送を用いて、平坦な $\bbZ$-次数付き接続から無限局所系統へのリーマン＝ヒルベルト関手 $ρρ$ を定義する。
• 各平坦な $\bbZ$-接続に対して、経路空間上の形式の族を割り当て、サイクルに沿って積分することでチェーン写像を得る方法で関手 $ρρ$ を構成する。
• 複体の層 $σρ^{\mathbb{Z}}(π_∞ U)(\bbR, F)$ を無限局所系統 $(F,f)$ に対して構成し、de Rham 複体と $C^\infty$-関数のテンソル積と quasi-isomorphic であることを示すことにより、quasi-本質的全射性を証明する。
• Illusie の定理を適用して、$ρρ(F)$ のゼロ成分と quasi-isomorphic な $ρ_{\mathbb{Z}}^0$-加群の完全複体を構成し、[4] の議論を用いて $ρ_{\mathbb{Z}}^0$ 内の quasi-isomorphic 物体を構成する。
• 平坦な $\bbZ$-次数付き接続をファイブレーション（例えばホプフファイブレーション）上でモデル化するための分解 $d_M = d_{M/B} + δ_B - \text{terms involving } S \text{ and } Ω$ を用い、 cohesive モジュールとして表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なリーマン＝ヒルベルト対応は、$π_1(M)$ を超えて $π_∞ M$ の高次ホモトピー型を含むように一般化可能か？
• RQ2 多様体の完全な $π_∞ M$ 構造を捉えるために、正しい意味での局所系統とは何か？
• RQ3 反復積分と単体的技法を用いて、$\bbZ$-次数付き接続の高次ホロノミー輸送をどのように形式化できるか？
• RQ4 平坦な $\bbZ$-次数付き接続の dg-圏と無限局所系統の dg-圏との間に $A_\infty$-準同値が存在するか？
• RQ5 リーマン＝ヒルベルト関手の逆は、層論的または分解論的技法によって構成可能か？

主な発見

• 本稿は、平坦な $\bbZ$-次数付き $A^0$-加群の dg-圏 $ρ_{\mathbb{Z}}^0$ と $M$ 上の無限局所系統の dg-圏 $ρ^{\mathbb{Z}}(π_∞ M)$ の間で、$A_\infty$-準同値を構成する。
• リーマン＝ヒルベルト関手 $ρρ$ は高次ホロノミーを用いて定義され、経路空間上の形式の鎖の族をサイクルに沿って積分することで実現され、平坦性によりホモトピー整合性が保証される。
• 任意の無限局所系統が、$C^\infty$-関数とテンソル積をとった de Rham 複体と quasi-isomorphic な層の複体から生じることを示すことにより、quasi-本質的全射性が確立される。
• Illusie の定理を用いて、$ρρ(F)$ のゼロ成分と quasi-isomorphic な $ρ_{\mathbb{Z}}^0$-加群の完全複体を構成し、[4] の議論により $ρ_{\mathbb{Z}}^0$ 内の quasi-isomorphic 物体を構成可能であることを示す。
• ホプフファイブレーションは、非自明な高次接続成分をもつ擬準同調モジュールの具体例を提供する。また、[4] の定理 3.2.7 より、真の同調モジュールの存在が保証される。
• この対応は、複素多様体 $Σ$ 上の連接層の導来圏など、任意の dg-圏を係数にとる場合にも拡張可能であり、$ρ_{\mathbb{Z}}^{B\rtimes A(X)} \to ρ^{\mathbb{Z}}_{\infty}^B(X)$ として実現される。