[論文レビュー] Alignment between Initial State and Mixer Improves QAOA Performance for Constrained Optimization

Zichang He, Ruslan Shaydulin+5 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）の初期状態をミキサーハミルトニアンの基底状態に一致させることで、特にポートフォリオ最適化において性能が著しく向上することを示している。xyミキサーと数値シミュレーションおよびトラップイオン実験を用いて、初期状態とミキサーの一致が、低回路深さでも近似比を向上させることを示し、Trotter化されたミキサーからの有効基底状態が正確な基底状態に素早く収束することを明らかにした。

ABSTRACT

Quantum alternating operator ansatz (QAOA) has a strong connection to the adiabatic algorithm, which it can approximate with sufficient depth. However, it is unclear to what extent the lessons from the adiabatic regime apply to QAOA as executed in practice with small to moderate depth. In this paper, we demonstrate that the intuition from the adiabatic algorithm applies to the task of choosing the QAOA initial state. Specifically, we observe that the best performance is obtained when the initial state of QAOA is set to be the ground state of the mixing Hamiltonian, as required by the adiabatic algorithm. We provide numerical evidence using the examples of constrained portfolio optimization problems with both low ($p\leq 3$) and high ($p = 100$) QAOA depth. Additionally, we successfully apply QAOA with XY mixer to portfolio optimization on a trapped-ion quantum processor using 32 qubits and discuss our findings in near-term experiments.

研究の動機と目的

• 近い将来の低深さ実装において、アディアバティック量子アルゴリズムの原則——特に初期状態をミキサーのハミルトニアンに一致させること——がQAOAの性能を向上させるかどうかを調査すること。
• 制約付き最適化問題、特にハミング重み制約を伴うポートフォリオ最適化における初期状態とミキサーの一致がQAOA性能に与える影響を評価すること。
• 実際の量子ハードウェア、特にトラップイオンプロセッサを用いたxyミキサーを用いたQAOAの実装可能性と有効性を検討すること。
• Trotter化されたミキサーからの有効基底状態が正確なミキサーの基底状態にどの程度収束するかを定量化し、実用的QAOA設定における忠実度を評価すること。

提案手法

• ハミング重みを保存するxyミキサーを用いた局所的ハミルトニアンベースのQAOA（LH-QAOA）を採用し、リング-xy、完全-xy、および任意接続の変種を含む。
• 非可換項を伴うため、Trotter化されたミキサーに対して有効ハミルトニアンを $ \mathbf{H}_{\text{eff}}(\beta) = i\log(\mathbf{U}(\beta)) $ として定義し、良好に定義された基底状態を回復した。
• 有効基底状態とミキサーのハミルトニアンの正確な基底状態との間の基底状態忠実度（GS忠実度）を計算し、一致の質を定量化した。
• 低深さ（$ p \leq 3 $）と高深さ（$ p = 100 $）の制約付きポートフォリオ最適化問題に対して数値シミュレーションを実施し、一致・不一致の初期状態・ミキサー対を比較した。
• 32キュービットのトラップイオン量子プロセッサ（Quantinuum H2-1）を用いて実験的妥当性を検証し、$ \beta = 0.5 $ と変化するTrotter数を用いた。
• QAOA性能の評価に主に近似比を用い、問題例全体にわたり一致・不一致の設定を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QAOAの初期状態をミキサーのハミルトニアンの基底状態に一致させることで、制約付き最適化問題における性能が向上するか？
• RQ2 低深さおよび高深さの回路において、初期状態とミキサーが一致するQAOAの性能は、不一致設定と比べてどの程度優れているか？
• RQ3 Trotter化されたミキサーの有効基底状態が、完全なミキサーのハミルトニアンの正確な基底状態にどの程度収束するか？
• RQ4 近い将来のトラップイオン量子ハードウェアにおいて、xyミキサーと初期状態・ミキサーの一致を有するQAOAを実際に実装・妥当化できるか？
• RQ5 ハミング重み制約下のポートフォリオ最適化において、ミキサーと初期状態の選択が近似比にどのように影響するか？

主な発見

• 初期状態とミキサーの基底状態が一致する——つまり初期状態がミキサーのハミルトニアンの基底状態と一致する——ことで、制約付きポートフォリオ最適化問題におけるQAOA性能が著しく向上する。
• 低深さ（$ p \leq 3 $）および高深さ（$ p = 100 $）の両方のシミュレーションにおいて、一致設定の近似比が一貫して高かった。
• Trotter誤差が存在する中でも、Trotter化されたミキサーの有効基底状態は正確な基底状態に素早く収束し、小さなTrotter数で高いGS忠実度が達成された。
• GS忠実度はTrotter誤差よりも速く収束しており、実用的には有効基底状態が一致の指標として頑健で信頼できることが示された。
• 32キュービットのトラップイオンプロセッサ上で、xyミキサーと一致する初期状態を有するQAOAが正常に実行され、近い将来の実験における実現可能性が示された。
• 数値結果から、ミキサーがTrotter化によって実装されても、一致による性能向上の恩恵が持続することが示され、NISQデバイスにおける実用的関連性を支持する。