[論文レビュー] All relativistic motions can be geodesically described

A. Loinger, Tiziana Marsico|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2010

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、重力以外の力（電磁気力など）によって駆動される相対論的運動でさえ、適切に選ばれた時空幾何における測地線軌道として記述可能であることを示している。非重力場のエネルギー運動量テンソルに特定の発散ゼロ条件を満たすように計量テンソルを再定義することで、運動方程式が測地線方程式に簡略化され、非重力的力学が一般相対性理論の幾何的枠組みに統合される。

ABSTRACT

A suitable choice of the four components of the metric tensor which are at our discretion allows to represent geodesically also the non-gravitational motions.

研究の動機と目的

• 非重力的相互作用（例：電磁気的力）が、一般相対性理論における測地線的記述を妨げないことを示すこと。
• 計量テンソルの成分を適切に選ぶことで、帯電したダスト雲の運動方程式が測地線方程式に変換可能であることを示すこと。
• 全非重力的エネルギー運動量テンソルが新しい計量において発散ゼロであることを保証することで、追加の場を含む系へこの結果を一般化すること。
• このような計量再定義が、一般相対性理論の幾何的構造を保つ新しいリーマン＝アインシュタイン多様体への移行に対応することを確立すること。

提案手法

• 帯電ダスト雲に対して標準的なアインシュタイン＝マクスウェル方程式を用い、運動が重力的および電磁気的力の両方の作用を受けるものとする。
• 新しい計量において電磁気的エネルギー運動量テンソル $E^{jk}$ が共変的に保存されること、すなわち $E^{jk}_{:k} = 0$ となる条件を課し、これにより新しい計量成分 $g^{*}_{jk}$ が定まる。
• この条件下で物質保存則と修正されたアインシュタイン方程式が導かれ、新しい速度場に対する測地線方程式 $v^{*j}_{:k}v^{*k} = 0$ が得られることを示す。
• 追加の非重力的場を含めるために、全非重力的エネルギー運動量テンソル $E^{jk} + X^{jk}$ が新しい計量において共変的に保存されることを要請する。
• 新しい計量 $g^{*}_{jk}$ が、ダスト粒子の運動方程式が元の力項に依存せず、純粋に測地線的になるように構成されていることを利用する。
• 新しい計量が一般相対性理論の幾何的整合性を保つ別のリーマン＝アインシュタイン多様体に対応することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電磁気的相互作用を含む非重力的力は、修正された時空幾何における測地線的運動として完全に記述可能か？
• RQ2 計量テンソルを再定義することで、帯電ダスト雲の運動方程式を完全に測地線的にすることができるか？
• RQ3 追加の非重力的場の導入は、測地線的記述の可能性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 測地線的記述が有効であるためには、非重力的場のエネルギー運動量テンソルが満たすべき条件は何か？
• RQ5 このアプローチは、すべての相対論的力学を統合しつつ、一般相対性理論の幾何的構造を保持するのか？

主な発見

• 古典的には電磁気的力を受ける帯電ダスト雲の運動は、計量テンソル $g^{*}_{jk}$ を再定義した時空において測地線として記述可能である。
• 新しい計量において $E^{jk}_{:k} = 0$ という条件を満たすことで、運動方程式が測地線方程式 $v^{*j}_{:k}v^{*k} = 0$ に簡略化され、純粋に測地線的運動であることが示される。
• 追加の非重力的場を含む系へ一般化する際には、$(E^{jk} + X^{jk})_{:k} = 0$ が新しい計量において成り立つようにすれば、再び測地線的軌道が得られる。
• 新しい計量 $g^{*}_{jk}$ は、別のリーマン＝アインシュタイン多様体に対応しており、一般相対性理論の幾何的構造が変換のもとでも保存されることを意味する。
• この結果は、重力的でない運動を含め、すべての相対論的運動が適切に選ばれた時空幾何における測地線として記述可能であることを示唆する。
• 補足として、マクスウェル理論における一様に運動する電荷が電磁波を放出しないのと同様に、一般相対性理論における測地線的運動は重力波を放出しない。これは、電磁気学における直線運動と重力における測地線的運動の間に深い類似性があることを示唆している。