[論文レビュー] An ergodic theorem for homogeneously distributed quantum channels with applications to matrix product states

Ramis Movassagh, Jeffrey Schenker|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、均一に分布する量子チャネルによって駆動される量子過程におけるエルゴード定理を確立し、非可約性の下で初期状態に依存しないエルゴード状態列への指数的収束を証明する。この結果により、エルゴード行列積状態の熱力学的極限の特徴付けが可能となり、バルクにおける2点相関の指数的減衰が示される。

ABSTRACT

Any quantum process is represented by a sequence of quantum channels. We consider ergodic processes, obtained by sampling channel valued random variables along the trajectories of an ergodic dynamical system. Examples of such processes include the effect of repeated application of a fixed quantum channel perturbed by arbitrary correlated noise, or a sequence of channels drawn independently and identically from an ensemble. Under natural irreducibility conditions, we obtain a theorem showing that the state of a system evolving by such a process converges exponentially fast to an ergodic sequence of states depending on the process, but independent of the initial state of the system. As an application, we describe the thermodynamic limit of ergodic matrix product states and prove that the 2-point correlations of local observables in such states decay exponentially with their distance in the bulk. Further applications and physical implications of our results are discussed in the companion paper [11].

研究の動機と目的

• エルゴード力学系に沿って値がチャネルで与えられる確率変数によって支配される量子過程の一般エルゴード定理を確立すること。
• 相関のあるまたはi.i.d.なチャネル列に従って進化する量子系の長期的挙動を分析すること。
• エルゴードチャネル分布の下での行列積状態の熱力学的極限を特徴付けること。
• このような状態における局所的観測量の間の相関の指数的減衰を証明すること。
• 相関のあるノイズの下での量子多体系の漸近的挙動を理解するための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• エルゴード力学系からサンプリングされた量子チャネルの列として量子過程をモデル化すること。
• 一意な不変状態列の存在を保証するため、非可約性条件を適用すること。
• スペクトルギャップ技術を用いて、エルゴード状態列への指数的収束を確立すること。
• 行列積状態の構造を活用して、エルゴードチャネル集合の下でのその熱力学的極限を分析すること。
• チャネル過程の収束速度を用いて相関減衰の性質を導出すること。
• 作用素代数および量子確率の道具を用いて、長期的ダイナミクスを分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルゴード過程からサンプリングされたチャネル列が、不変状態への指数的収束をもたらす条件は何か？
• RQ2 基礎となるチャネルがエルゴード的に分布している場合、行列積状態の熱力学的極限はどのように振る舞うか？
• RQ3 このような行列積状態における局所的観測量間の2点相関の減衰挙動はいかなるものか？
• RQ4 このようなチャネル列の下で、系の初期状態が長期的挙動に与える影響はどの程度か？
• RQ5 プロセスの収束速度は定量的に評価可能であり、相関減衰などの物理的性質と結びつけられるか？

主な発見

• エルゴードチャネル列に従って進化する量子系の状態は、初期状態に依存せず、一意なエルゴード状態列へ指数的に速く収束する。
• 収束速度はチャネル過程のスペクトルギャップによって決定され、過渡成分の指数的減衰を保証する。
• 熱力学的極限において、エルゴード行列積状態はバルクにおける局所的観測量間の2点相関に対して指数的減衰を示す。
• 相関減衰はバルク全体にわたって一様であり、初期状態に依存せず、チャネル列のエルゴード性を反映している。
• 自然な非可約性条件の下で結果は成り立ち、これにより極限状態の一意性と安定性が保証される。
• この枠組みはi.i.d.チャネル集合および相関のあるチャネル列の両方に適用可能であり、物理的関連性を広げている。