[論文レビュー] Application of Multiple Fourier-Legendre Series to Implementation of Strong Exponential Milstein and Wagner-Platen Methods for Non-Commutative Semilinear Stochastic Partial Differential Equations

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、乗法的トレースクラスノイズを有する非可換線形でない確率的偏微分方程式（SPDE）に対して、強指数型ミルスタインおよびワグナー＝プラテンスキームの新規実装を提示する。複数のフーリエ＝レジェンドル級数を活用することで、無限次元の $Q$-ウィーナー過程に関する反復伊藤確率積分（重み1〜3）の平均二乗近似が達成され、可換性の仮定なしに高次収束（$1.0 - \varepsilon$ および $1.5 - \varepsilon$）を実現する。

ABSTRACT

The article is devoted to the application of multiple Fourier-Legendre series to implementation of strong exponential Milstein and Wagner-Platen methods for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise. These methods have strong orders of convergence $1.0-\varepsilon$ and $1.5-\varepsilon$ correspondingly (here $\varepsilon$ is an arbitrary small positive real number) with respect to the temporal discretization. The theorem on mean-square convergence of approximations of iterated stochastic integrals of multiplicities 1 to 3 with respect to the infinite-dimensional $Q$-Wiener process is formulated and proved. The results of the article can be applied to implementation of exponential Milstein and Wagner-Platen methods for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise.

研究の動機と目的

• 非可換な半線形SPDEにおける無限次元の $Q$-ウィーナー過程に関する重み1〜3の反復伊藤確率積分を数値的に近似する課題に対処すること。
• 従来の方法が高次スキームのための可換性条件を必要としていたという制限を克服すること。
• 有限次元の $Q$-ウィーナー過程の近似と一般化された多重フーリエ級数の組み合わせにより、これらの積分の平均二乗収束フレームワークを構築すること。
• 一般の非可換条件下で、乗法的トレースクラスノイズを有するSPDEに対する強指数型ミルスタインおよびワグナー＝プラテンスキームの実装を可能にすること。

提案手法

• スカラーブラウン運動に関する反復伊藤確率積分の近似に一般化された多重フーリエ＝レジェンドル級数を用い、これを無限次元の $Q$-ウィーナー過程へ拡張する。
• 2成分に分解された誤差構造を導入：1つは $Q$-ウィーナー過程の有限次元近似に起因する誤差、もう1つは反復伊藤積分の近似に起因する誤差。
• 一般化された多重フーリエ級数の理論を用いて、重み1〜3の積分における2番目の近似誤差成分を制御する。
• $Q$-ウィーナー過程の切断に起因する誤差の第1成分の新しい近似を、第2成分の既存の多重フーリエ＝レジェンドル級数の結果と組み合わせる。
• 作用素ノルムの上限と $Q$ の固有値の減衰に関する境界を用いて、近似の平均二乗収束を確立する。
• 収束の誤差境界を $C(T-t)^3 (\sup_{i \in J \setminus J_M} \lambda_i)^{2\alpha}$ の形で導出。$M$ の増加に伴い収束が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換なSPDEにおける無限次元の $Q$-ウィーナー過程に関する重み1〜3の反復確率積分を、平均二乗収束の観点からどのように近似できるか？
• RQ2 $Q$-ウィーナー過程の有限次元への切断がなされた際の近似誤差の構造はいかなるものか？
• RQ3 一般化された多重フーリエ＝レジェンドル級数法を、$Q$-ウィーナー過程近似の第1成分の誤差に対しても拡張可能か？
• RQ4 非可換なSPDEにトレースクラスノイズを有する指数型ミルスタインおよびワグナー＝プラテンスキームの平均二乗収束を保証する条件は何か？
• RQ5 誤差境界は時間区間の長さと共分散作用素 $Q$ の固有値の減衰にどのように依存するか？

主な発見

• 本稿では、無限次元の $Q$-ウィーナー過程に関する重み1〜3の反復確率積分の近似の平均二乗収束に関する定理を確立する。
• $Q$-ウィーナー過程の切断に起因する誤差の境界が $O((T-t)^3 (\sup_{i \in J \setminus J_M} \lambda_i)^{2\alpha})$ であることが示された。
• 指数型ミルスタインスキームは強収束次数 $1.0 - \varepsilon$、ワグナー＝プラテンスキームは $1.5 - \varepsilon$ を達成し、$\varepsilon > 0$ は任意の正数である。
• 本手法により、SPDE係数に可換性条件を課さずに高次スキームの実装が可能になる。
• 収束解析により、$Q$ の固有値 $\lambda_i$ の減衰に伴い、近似誤差が $M$ の増加に伴い減少することが確認された。
• 理論的枠組みは、乗法的トレースクラスノイズを有する非可換な半線形SPDEの効率的かつ高精度な数値的解法に多重フーリエ＝レジェンドル級数を用いることを支持する。