[論文レビュー] Coherent sheaves on the stack of Langlands parameters

Xinwen Zhu|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 65被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、局所およびグローバル関数体設定におけるラングランズパラメータのスタック上の連接層を導入することで、算術ラングランズプログラムのカテゴリカル枠組みを提案する。これらの層が局所的・グローバル的整合性、ヘッケ作用、志村多様体およびラポルト＝ジンクス空間のコホモロジーとどのように関連するかを定式化する予想を提示し、主な結果として導来S = T予想と一般化されたラポルト＝ジンクス空間のコホモロジー公式を含む。

ABSTRACT

We formulate a few conjectures on some hypothetical coherent sheaves on the stacks of arithmetic local Langlands parameters, including their roles played in the local-global compatibility in the Langlands program. We survey some known results as evidences of these conjectures.

研究の動機と目的

• 局所的算術ラングランズ対応のカテゴリカル版を、ラングランズパラメータのスタック上の連接層を用いて定式化すること。
• 算術ラングランズプログラムにおける局所的・グローバル的整合性の幾何的枠組みを提供すること。
• これらのスタック上の連接層がヘッケ作用を通じて志村多様体およびラポルト＝ジンクス空間のコホモロジーとどのように関連するかを結びつけること。
• 幾何ラングランズの文脈において、導来ヘッケ代数へのS = T定理の一般化を達成すること。
• インダクティブに連接層と局所系を用いた、一般化されたラポルト＝ジンクス空間のための予想的なコホモロジー公式を確立すること。

提案手法

• 導来代数幾何を用いて、関数体設定における局所的およびグローバルなラングランズパラメータのモジュライスタックを構成する。
• ガロア群からラングランズ双対群への連続準同型のモジュライ空間として、算術ラングランズパラメータのスタックを定義する。
• ラングランズ対応を支配する中心的対象として、これらのスタック上の連接層を定義する。
• 導来ヘッケ代数とインダクティブに連接層を用いて、これらの層と志村多様体およびラポルト＝ジンクス空間のコホモロジーとの関係を確立する。
• [49]および[27]の関手的枠組みを適用し、層が局所ラングランズ対応の幾何化とどのように関連するかを明らかにする。
• 導来自己双対的層の圏とヘッケ固有層の圏の間の予想的な同値を提案し、S = T原理を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラングランズパラメータのスタック上の連接層は、どのように局所的算術ラングランズ対応のカテゴリカルな定式化を提供するか？
• RQ2 グローバル関数体設定におけるこれらの層と志村多様体のコホモロジーとの正確な関係は何か？
• RQ3 導来ヘッケ代数は、シュトゥーカスおよび志村多様体のコホモロジーにどのように作用するか？また、これと提案された層との関係は何か？
• RQ4 一般化されたラポルト＝ジンクス空間のための予想的なコホモロジー公式は、層論的枠組みから導出可能か？
• RQ5 ターミナル安定中心は、提案された層を通じてコホモロジー上のヘッケ作用を実現する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 予想4.60は、局所スタック上の層のHom空間からコホモロジーのHom空間への自然な写像を提案し、合成と両立し、S = T原理を導来ヘッケ代数へと拡張する。
• 提案された層を通じたヘッケ作用の合成が、志村多様体のコホモロジーへの自然なヘッケ作用と一致すると予想される。
• 予想4.62は、ラポルト＝ジンクス空間のコンパクト-suppot 付きコホモロジーと層のHom空間の間のHK × WE × Gb(F)-不変同型を提供し、右辺は非負の次数に集中するとされる。
• この予想は、基本的ラポルト＝ジンクス空間のコホモロジーが中間次元未満で消えることを示唆し、一般的な期待と整合的である。
• 局所スタックの孤立した滑らかな点では、コホモロジー公式の右辺が次数0に集中すると予想される。
• 知られている結果（[77, 83]による）と整合的であり、ハイパスペシャルレベルの場合に既知の結果を導来設定に拡張する。