[論文レビュー] Control of the Grushin equation: non-rectangular control region and minimal time

Michel Duprez, Armand Koenig|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2018

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering参考文献 24被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、擬似制御法と複素多項式 $L^2$ 評価を用いて、非長方形な制御領域を有するグリューシン方程式の零制御可能性の最小時間を確立する。制御領域が下端から上端境界への経路の $\varepsilon$-近傍を含む場合、零制御可能性はすべての $T > a^2/2$ に対して成り立ち、ここで $a$ は経路の最大水平偏差である。この時間は観測可能性不等式を用いて鋭く示されている。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of the internal null-controllability of the Grushin equation. We determine the minimal time of controllability for a large class of non-rectangular control region. We establish the positive result thanks to the fictitious control method and the negative one by interpreting the associated observability inequality as an $L^2$ estimate on complex polynomials.

研究の動機と目的

• 制御領域が非長方形であり、特異化線 $x=0$ に接しない場合のグリューシン方程式の零制御可能性に必要な最小時間の特定。
• 縦ストリップを超える、下端から上端境界への経路を含むより一般的な制御領域への既知の制御可能性結果の拡張。
• 観測可能性不等式として解釈された複素多項式上の $L^2$ 評価を通じて、最小時間 $T > a^2/2$ の鋭さを確立すること。
• 切断関数の構成とエネルギー評価の使用により、非長方形領域への最小時間結果の一般化。

提案手法

• 零制御可能性問題を観測可能性不等式に還元するために、擬似制御法が用いられる。
• 右側成分 $\mathbb{R}^2 \setminus \tilde{\gamma}(\mathbb{R})$ の指示関数の滑らか化を用いて、切断関数 $\theta$ が構成され、$\operatorname{supp}(\nabla\theta) \subset \omega_0 \subset \omega$ を満たす。
• 分区単位を用いて解を自由部と内部部に分解し、重み付き空間 $V(\Omega)$ におけるエネルギー評価から制御が導かれる。
• グリューシン作用素のスペクトル構造と、特にラングの定理を用いた観測可能性に対する反例の構成に、複素解析的手法が用いられる。
• 観測可能性不等式を複素多項式上の $L^2$ 評価として解釈し、$L^\infty$ ノルムにおける反例を構成することで、最小時間 $T > a^2/2$ が鋭いことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御領域が縦ストリップでないが、領域の下端から上端境界への経路を含む場合、グリューシン方程式の零制御可能性に必要な最小時間は何か？
• RQ2 非長方形な制御領域に対して最小時間 $T = a^2/2$ を達成可能であり、かつそれが鋭いかどうか？
• RQ3 制御領域の幾何構造、特に特異化線 $x=0$ からの距離が、最小制御可能時間にどのように影響するか？
• RQ4 グリューシン方程式の観測可能性不等式は、複素多項式上の $L^2$ 評価として特徴付けられるか？このことは制御可能性にどのような意味を持つか？
• RQ5 縦ストリップでない制御領域に対し、最小時間 $T > a^2/2$ は鋭いか？そして、その証明はどのように行われるか？

主な発見

• 制御領域 $\omega$ が、$(-1,1)\times\{0\}$ から $(-1,1)\times\{\pi\}$ への連続経路 $\gamma$ の $\varepsilon$-近傍を含む場合、グリューシン方程式はすべての $T > a^2/2$ に対して零制御可能であり、ここで $a = \max_s |\operatorname{abscissa}(\gamma(s))|$ である。
• 最小時間 $T > a^2/2$ は鋭い：任意の $T \leq a^2/2$ に対して、観測可能性不等式は成立せず、したがって零制御可能性は不可能である。
• 否定的結果の証明は、観測可能性不等式を複素多項式上の $L^2$ 評価として解釈し、ラングの定理を用いて反例を構成することで行われる。
• 適切に構成された切断関数 $\theta$ を用いて、制御は $\omega$ 内に局在化され、$\operatorname{supp}(\nabla\theta) \subset \omega_0 \subset \omega$ を満たすため、制御は所望の領域でのみ作用する。
• 従来の縦ストリップや対称ストリップに関する結果の一般化であり、最小時間は経路の最大水平拡大にのみ依存し、その縦方向の変動には依存しないことが示された。
• 最小時間の鋭さは、ドメイン上の多項式の $L^2$ ノルムが、境界に近づかない集合 $U$ 上の $L^2$ ノルムによっては有界に抑えられないことにより示され、必要な観測可能性推定が破綻することを意味する。