[論文レビュー] D-branes of A-type, their deformations, and Morse cobordism of A-branes on Calabi-Yau 3-folds under a split attractor flow: Donaldson/Alexander-Hilden-Lozano-Montesinos-Thurston/Hurwitz/Denef-Joyce meeting Polchinski-Grothendieck

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 90被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、アズマヤ多様体とその基本的モジュール、ユニタリで最小フラットな接続を用いて、カルラヤ3次元多様体上のA型Dブレーンの幾何的枠組みを提案する。これはドナルドソンの特別ラグラジアン部分多様体とポルチンスキー＝グロタンディークの仮説を統合するものであり、埋め込まれた特別ラグラジアン部分多様体がアズマヤ3次元球面からの準同型写像の像として現れることを確立する。これによりD3ブレーンの経路積分が種数に類似した展開を可能とし、モースコボルディズムと分岐被覆構造を用いてブレーン遷移を記述する。

ABSTRACT

In [L-Y5] (D(6): arXiv:1003.1178 [math.SG]) we introduced the notion of Azumaya $C^{\infty}$-manifolds with a fundamental module and morphisms therefrom to a complex manifold. In the current sequel, we use this notion to give a prototypical definition of supersymmetric D-branes of A-type (i.e. A-branes) -- in an appropriate region of the Wilson's theory-space of string theory -- as special Lagrangian morphisms from such objects with a unitary, minimally flat connection-with-singularities. This merges Donaldson's picture of special Lagrangian submanifolds and the Polchinski-Grothendieck Ansatz for D-branes on a Calabi-Yau space. Basic phenomena of D-branes such as Higgsing/un-Higgsing and large- vs. small-brane wrapping can be realized via deformations of such morphisms. Classical results of Alexander, Hilden, Lozano, Montesinos, and Thurston suggest then a genus-like expansion of the path-integral of D3-branes. Similarly for D2-branes and M2-branes. In the last section, we use the technical results of Joyce on desingularizations of special Lagrangian submanifolds with conical singularities to explain how A-branes thus defined can be driven and re-assemble under a split attractor flow, as studied in an earlier work of Denef. This section is to be read with arXiv:hep-th/0107152 of Denef and arXiv:math.DG/0303272 of Joyce.

研究の動機と目的

• タイプIIB弦理論をカルラヤ3次元多様体に compactify した場合に、基本的モジュールとユニタリで最小フラットな接続を持つアズマヤ多様体からの準同型写像としてA型Dブレーンを定義すること。
• ドナルドソンの特別ラグラジアン部分多様体の図像と、カルラヤ空間におけるDブレーンのポルチンスキー＝グロタンディークの仮説を統合すること。
• アズマヤ空間からの準同型写像の変形を用いてヒッグス化／アンヒッグス化およびブレーンラッピング遷移を記述すること。
• モースコボルディズムと分岐被覆構造を用いて、カルラヤ3次元多様体上のD3ブレーン経路積分の種数に類似した展開を確立すること。
• 特別ラグラジアン部分多様体に特異点を持つ場合のジョイスの特異点解消技術を用いて、スプリットアトラクタフローに伴うDブレーンの集合／分解をモデル化すること。

提案手法

• C^\infty$-アズマヤ多様体に基本的モジュールを備え、ユニタリで最小フラットな接続を持つ複素多様体への準同型写像としてAブレーンを定義する。
• 3次元多様体がS^3に分岐被覆するという古典的結果を応用し、平坦なユニタリ bundle を持つ埋め込み特別ラグラジアン部分多様体が、アズマヤ3次元球面からの特別ラグラジアン準同型写像の像として現れることを示す。
• 多様体のモースコボルディズムの構成と、それらをアズマヤ多様体および複素多様体への準同型写像へと拡張する。
• 特別ラグラジアン部分多様体に特異点を持つ場合のジョイスの特異点解消理論を用いて、逆スプリットアトラクタフロー下でのDブレーン再集合をモデル化する。
• カルラヤ多様体内の特別ラグラジアンサイクルのコーンを、経路積分展開の主要な幾何的対象として定義する。
• N^{s,t} 上でのL^2ノルム推定と射影作用素を用いて、変形されたラグラジアン多様体が特別ラグラジアンにどれほど近いかを制御し、パラメータt、\tau、および\tauに依存する減衰率に依存する境界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプIIB弦理論をカルラヤ3次元多様体に compactify した場合、基本的モジュールとユニタリで最小フラットな接続を持つアズマヤ多様体からの準同型写像を用いて、Aブレーンをどのように幾何学的に定義できるか？
• RQ2 モースコボルディズムは、Aブレーンの変形および遷移（ヒッグス化／アンヒッグス化、大・小ブレーンラッピング）を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 境界で安定性の壁に達したスプリットアトラクタフローは、Dブレーンの分解と再集合をどのように駆動するか？ また、ジョイスの特異点解消技術を用いてどのようにモデル化できるか？
• RQ4 カルラヤ3次元多様体上のD3ブレーンの経路積分は、弦の経路積分に類似した種数に類似した級数展開にできるか？ その背後にある幾何的構造は何か？
• RQ5 特異点の性質と接合パラメータ（\tau、\delta_0、\delta_i）にどのような条件を課すと、L^2ノルムの減衰が制御されたC^k-正則化特別ラグラジアン近似が存在するか？

主な発見

• カルラヤ3次元多様体上に埋め込まれた特別ラグラジアン部分多様体に、複素ベクトル bundle とユニタリ平坦接続を持つ場合、それは基本的モジュールとユニタリで最小フラットな接続を持つアズマヤ3次元球面からの特別ラグラジアン準同型写像の像として常に得られる。
• このような準同型写像の存在は、アレクサンダー、ヒルデン、モンテシノス、ターリントンによる3次元多様体がS^3に分岐被覆するという古典的定理によって保証され、構成の位相的基盤を提供する。
• アズマヤ多様体からの準同型写像の変形は、Aブレーン理論におけるヒッグス化／アンヒッグス化および大・小ブレーンラッピング遷移を実現する。
• モースコボルディズムと特別ラグラジアンサイクルのコーンに基づき、D3ブレーン経路積分の種数に類似した展開が示唆される。
• 逆スプリットアトラクタフロー下では、ジョイスによる特別ラグラジアン部分多様体の特異点解消を用いてDブレーンを分解・再集合可能であり、誤差\varepsilon^{s,t} のL^2ノルム境界により定量的制御が可能である。
• \kappa > 1 の不等式系は、\delta_0 と \delta_i が小さく、\delta_i > (1 + m/2) \delta_0 / (1 - \delta_0) および \delta_0 < 1/(m+1) を満たす場合に非空解を持つ。このとき\kappa は1に限りなく近づけ、L^2ノルムの減衰が制御されたC^k-正則化近似が存在することが保証される。