[論文レビュー] Development and Application of the Fourier Method to the Mean-Square Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、任意の多重度の反復伊藤およびストラトノビッチ確率積分のためのフーリエに基づく平均二乗近似法を開発し、特にルジャンドルおよび三角関数の一般化された多重フーリエ級数を用いる。平均二乗誤差の正確かつ近似式の表現を導出し、任意の次数 k の反復伊藤積分および多重度6までのストラトノビッチ積分について明示的な展開を提供することで、非可換なノイズを有する伊藤型SDEの効率的な数値積分が可能になる。

ABSTRACT

The article is devoted to the mean-square approximation of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals in the context of the numerical integration of Ito stochastic differential equations. The expansion of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ and expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 6 have been obtained. Considerable attention is paid to expansions based on multiple Fourier-Legendre series. The exact and approximate expressions for the mean-square error of approximation of iterated Ito stochastic integrals are derived. The results of the article will be useful for numerical integration of Ito stochastic differential equations with non-commutative noise.

研究の動機と目的

• 反復伊藤およびストラトノビッチ確率積分のための堅牢な平均二乗近似法の開発（反復的であるが、任意の多重度の反復積分を含む）。
• 特に多重フーリエ–ルジャンドルおよび三角関数級数を用いた一般化された多重フーリエ級数を用いることで、既存の近似手法を高次反復積分にまで拡張すること。
• 近似の平均二乗誤差の正確および近似式の導出により、数値スキームにおける精度の定量的評価を可能にすること。
• 任意の多重度 k の反復伊藤積分および多重度6までのストラトノビッチ積分について明示的な展開を提供し、実装の支援を行うこと。
• 提案された近似フレームワークと Wong–Zakai 型近似との関係を確立し、既知の確率積分の微積分的結果と整合性があることを検証すること。

提案手法

• ヒルバート空間 $ L_2([t,T]) $ における一般化された多重フーリエ級数展開を用いて、反復伊藤およびストラトノビッチ確率積分を表現する。
• 完全正規直交系（特にルジャンドル多項式および三角関数）を基底関数として用い、フーリエ級数展開に適用する。
• 真の積分とそのフーリエ近似との差の $ L_2 $-ノルムを用いて、近似の平均二乗誤差の正確な表現を導出する。
• 任意の $ L_2([t,T]) $ 内の完全正規直交系に対して有効な一般化されたフレームワークを提示し、定理2および定理3をより広い関数クラスへと拡張する。
• 伊藤積分とストラトノビッチ積分の関係を用いて、クローンケル・デルタを含む補正項を介して、ストラトノビッチ展開を伊藤の対応物から導出する。
• 近似の収束性を、項数または近似パラメータが無限に近づく際の $ \text{l.i.m.} $（平均二乗における極限）を用いて検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多重度 $ k \in \mathbb{N} $ の反復伊藤確率積分を、一般化された多重フーリエ級数を用いて最小の平均二乗誤差で近似する方法は何か？
• RQ2 ルジャンドルおよび三角関数のフーリエ級数を用いた反復伊藤積分の近似における、平均二乗誤差の正確および近似式は何か？
• RQ3 多重度1から6までの反復ストラトノビッチ確率積分を、多重フーリエ–ルジャンドルおよび三角関数級数を用いて明示的に展開できるか？
• RQ4 提案されたフーリエに基づく近似法と Wong–Zakai 型近似との関係は何か？
• RQ5 既存の文献における結果と比較して、近似結果は収束性および伊藤–ストラトノビッチ関係との整合性においてどのように評価できるか？

主な発見

• 本稿では、一般化された多重フーリエ級数を用いて、任意の多重度 $ k $ の反復伊藤確率積分について明示的な展開を導出し、平均二乗意味での収束が保証される。
• 多重度1から6までの反復ストラトノビッチ確率積分について、多重フーリエ–ルジャンドルおよび三角関数級数に基づく閉形式の展開を提供しており、実用的な数値的実装を可能にする。
• 近似の平均二乗誤差の正確な表現が導出され、誤差はフーリエ係数の $ L_2 $-ノルムおよび基底関数の直交性に依存する。
• 近似誤差のための近似式が提供され、積分の完全再構築なしに効率的な誤差推定が可能になる。
• 近似の収束性は、項数の増加に伴う $ \text{l.i.m.} $（平均二乗における極限）を用いて厳密に確立され、既知の Wong–Zakai 近似と比較することで整合性が確認された。
• 明示的な例を通じて、ルジャンドル多項式展開を用いた二重確率積分の近似が検証され、近似の極限が正しいストラトノビッチ積分に収束することが示された。