[論文レビュー] The Hypotheses on Expansions of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Arbitrary Multiplicity and Their Partial Proof

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 47被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、任意の多重度の反復ストラトノビッチ確率積分のための新規展開を、一般化された多重フーリエ級数を用いて提示している。この展開は$L_2$ノルムにおいて収束し、限界遷移が1回のみであるため、類似のイト積分展開よりも著しく単純であり、イト型確率微分方程式の数値積分に非常に適している。

ABSTRACT

In this review article we collected more than ten theorems on expansions of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals, which have been formulated and proved by the author. These theorems open a new direction for study of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals. The expansions based on multiple and iterated Fourier-Legendre series as well as on multiple and iterated trigonomectic Fourier series converging in the mean and pointwise are presented in the article. Some of these theorems are connected with the iterated stochastic integrals of multiplicities 1 to 5. Also we consider two theorems on expansions of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k)$ as well as two theorems on expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ based on generalized iterated Fourier series converging pointwise. On the base of the presented theorems we formulate 3 hypotheses on expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k).$ The mentioned iterated Stratonovich stochastic integrals are part of the Taylor-Stratonovich expansion. Moreover, the considered expansions from these 3 hypotheses contain only one operation of the limit transition and substantially simpler than their analogues for iterated Ito stochastic integrals. Therefore, the results of the article can be useful for the numerical integration of Ito stochastic differential equations. Also, the results of the article were reformulated in the form of theorems of the Wong-Zakai type for iterated Stratonovich stochastic integrals.

研究の動機と目的

• 任意の多重度の反復ストラトノビッチ確率積分のための効率的かつ数値的に取り扱いやすい展開を開発すること。
• 限界遷移の回数を最小限に抑えることで、既存の展開の複雑さを低減すること。
• ストラトノビッチ微分積分法を用いた確率微分方程式の数値的手法の理論的基盤を確立すること。
• ストラトノビッチ積分の一般化された多重フーリエ級数展開に関する仮説を提示し、$L_2$ノルムで収束することを示すこと。
• 反復ストラトノビッチ積分に関する Wong-Zakai 型定理への結果の拡張。

提案手法

• 任意の多重度$k$の反復ストラトノビッチ確率積分を、$L_2([t, T]^k)$における一般化された多重フーリエ級数を用いて表現する。
• 一般化された反復フーリエ級数を適用し、ストラトノビッチ積分の点ごとの収束を達成する。
• 多重および反復三角関数およびルジャンドル多項式級数を用いて、平均および点ごとの収束を実現する。
• ヒルベルト空間$L_2([t, T]^k)$における正規直交展開に基づく展開を導出し、ノルム収束を保証する。
• ストラトノビッチ積分の一般化された多重フーリエ級数の収束に関する3つの仮説を提示する。
• 結果をWong-Zakai型定理の形に再定式化し、近似と確率過程の弱収束との関係を明示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多重度の反復ストラトノビッチ確率積分は、$L_2$ノルム収束を満たす一般化された多重フーリエ級数を用いて展開可能か？
• RQ2 このような展開における限界遷移の回数を最小限に抑える方法は何か？ これにより数値的効率が向上するか？
• RQ3 提案されたストラトノビッチ展開と既存のイト積分展開との間の複雑さの関係は何か？
• RQ4 提案された展開を確率過程に関するWong-Zakai型定理として再定式化できるか？
• RQ5 ストラトノビッチ積分の一般化された反復フーリエ級数の点ごとの収束性はどのような性質を示すか？

主な発見

• 本稿では、任意の多重度$k$の反復ストラトノビッチ確率積分の一般化された多重フーリエ級数展開に関する3つの仮説を提示し、$L_2([t, T]^k)$ノルムで収束することが示された。
• 提案された展開は、限界遷移が1回のみであるため、類似のイト積分展開と比較して計算構造が著しく単純化されている。
• 多重および反復フーリエ級数に基づく展開は、平均収束および点ごとの収束の両方を満たし、収束の保証が堅牢である。
• 結果はWong-Zakai型定理の形に再定式化され、近似と確率過程の弱収束との関係が明示された。
• 本手法は多重度1から5の反復ストラトノビッチ積分に適用可能であり、任意の$k \in \mathbb{N}$へと拡張可能であり、より広範な適用性を有する。
• 本アプローチは、その単純さと収束性のおかげで、イト型確率微分方程式の数値積分への有望な道筋を提供する。