[論文レビュー] Estimation of the Hurst and the stability indices of a $H$-self-similar stable process

Thi To Nhu Dang, Jacques Istas|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2015

Financial Risk and Volatility ModelingEconomics, Econometrics and Finance参考文献 17被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、$ H $-自己相似対称 $ \alpha $-安定過程のヒルスト指数 $ H $ および安定性指数 $ \alpha $ のための新しい推定法を提案する。この手法は、$ -\frac{1}{2} < \beta < 0 $ の $ \beta $-負のべき乗変動を用いる。このアプローチにより、分数 Browm運動および $ S\alpha S $-安定Lévy運動において、収束速度と漸近正規性が確立された一貫した推定量が得られ、両パラメータのうちいずれかの事前知識がなくても、$ H $ と $ \alpha $ を別々に推定可能である。

ABSTRACT

In this paper we estimate both the Hurst and the stable indices of a H-self-similar stable process. More precisely, let $X$ be a $H$-sssi (self-similar stationary increments) symmetric $\\alpha$-stable process. The process $X$ is observed at points $\\frac{k}{n}$, $k=0,\\ldots,n$. Our estimate is based on $\\beta$-variations with $-\\frac{1}{2}&lt;\\beta&lt;0$. We obtain consistent estimators, with rate of convergence, for several classical $H$-sssi $\\alpha$-stable processes (fractional Brownian motion, well-balanced linear fractional stable motion, Takenaka's processes, L\\'evy motion). Moreover, we obtain asymptotic normality of our estimators for fractional Brownian motion and L\\'evy motion. Keywords: H-sssi processes; stable processes; self-similarity parameter estimator; stability parameter estimator.

研究の動機と目的

• $ H $-sssi 対称 $ \alpha $-安定過程の自己相似パラメータ $ H $ および安定性指数 $ \alpha $ の一貫した推定量を開発すること。
• 両パラメータの事前知識がなくても、$ H $ と $ \alpha $ を別々に推定可能であるようにすること。
• $ \beta $-負のべき乗変動の共分散構造に関する一般条件の下で、提案された推定量の収束速度と漸近正規性を確立すること。
• 分数 Browm運動、$ S\alpha S $-安定Lévy運動、その他の古典的過程における手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 推定は、$ -\frac{1}{2} < \beta < 0 $ の範囲で、離散時刻 $ \frac{k}{n} $ におけるプロセス $ X $ の $ \beta $-負のべき乗変動に基づく。
• この手法は、$ |\Delta_{k,1}X|^\beta $ のモーメントおよび共分散の存在に依存しており、安定分布の密度関数のおかげで $ \beta \in (-\frac{1}{2}, 0) $ の範囲で明確に定義される。
• 一般的な負のべき乗変動の系列の共分散構造に関する仮定の下で、一貫性および収束速度が導出される。
• 分数 Browm運動および $ S\alpha S $-安定Lévy運動の状況において、推定量の漸近正規性が確立される。
• 本手法は、元のプロセスの高階モーメントの存在を仮定しない。
• 理論的結果は、4つの古典的 $ H $-sssi $ \alpha $-安定過程（分数 Browm運動、$ S\alpha S $-安定Lévy運動、バランスの取れた線形分数安定運動、Takenakaの過程）の詳細な分析を通じて検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ H $-sssi $ \alpha $-安定過程において、統一的な枠組みを用いて $ H $ および $ \alpha $ の両方の一致的かつ漸近正規的推定量を構築可能か？
• RQ2 $ \alpha $ の知識がなくても $ H $ を推定可能か、逆に $ H $ の知識がなくても $ \alpha $ を推定可能か？
• RQ3 異なるクラスの $ H $-sssi $ \alpha $-安定過程に対して、提案された推定量の収束速度は何か？
• RQ4 推定量の漸近正規性が成立する条件は何か？

主な発見

• 提案された $ H $ および $ \alpha $ の推定量は、$ \beta $-負のべき乗変動の共分散構造に関する一般仮定の下で一貫している。
• 分数 Browm運動および $ S\alpha S $-安定Lévy運動において、推定量は収束速度 $ n^{-\frac{1}{2}} $ で漸近正規性を達成する。
• 両パラメータの事前知識がなくても、$ H $ と $ \alpha $ を別々に推定可能である。
• 推定量の収束速度は、分数 Browm運動および $ S\alpha S $-安定Lévy運動において $ O(n^{-1/2}) $ である。
• 理論的収束速度は、4つの古典的過程（分数 Browm運動、$ S\alpha S $-安定Lévy運動、バランスの取れた線形分数安定運動、Takenakaの過程）の分析を通じて検証された。
• 高階モーメントの欠如に対しても本手法は頑健である。これは、$ \beta \in (-\frac{1}{2}, 0) $ の範囲での負のべき乗変動の存在にのみ依存するからである。