[論文レビュー] Expansions of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 4. Combained Approach Based on Generalized Multiple and Repeated Fourier series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、一般化された多重および繰り返しフーリエ級数を用いた新規な統合的手法を提示し、多重度1〜4の反復ストラトノビッチ確率積分を展開する。平均二乗収束を、多重級数では$L_2$ノルム収束、繰り返し級数では点収束として確立するが、伊藤積分に依存せず、1回の極限遷移のみで、イト型確率微分方程式の効率的な数値近似が可能となる。

ABSTRACT

The article is devoted to the expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 4 on the base of the combined approach of generalized multiple and iterated Fourier series. We consider two different parts of the expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals. The mean-square convergence of the first part is proved on the base of generalized multiple Fourier series that are converge in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k=1,2,3,4.$ The mean-square convergence of the second part is proved on the base of generalized iterated Fourier series that are converge pointwise. At that, we do not use the iterated Ito stochastic integrals as a tool of the proof and directly consider the iterated Stratonovich stochastic integrals. The cases of multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonometric Fourier series are considered in detail. The considered expansions contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. This property is very important for the mean-square approximation of iterated stochastic integrals. The results of the article can be applied to the numerical integration of Ito stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• 多重度1〜4の反復ストラトノビッチ確率積分を展開する統一的手法の開発。
• 収束証明において反復イタオ積分を中間的手段として用いるのを避ける。
• 一般化された多重および繰り返しフーリエ級数を用い、1回の極限遷移でのみ平均二乗収束を保証する。
• この手法をイト型確率微分方程式の数値統合に応用する。
• 展開フレームワーク内でのフーリエ＝レジェンドル級数と三角関数的多重級数の性能および収束特性を比較する。

提案手法

• $k=1,2,3,4$ に対して、$L_2([t, T]^k)$ 上の一般化された多重フーリエ級数を用い、展開の第一部分を表現する。
• 第二部分には一般化された繰り返しフーリエ級数を用い、点収束を保証する。
• 組み合わせ手法を、フーリエ＝レジェンドル級数および三角関数的多重級数の両方の展開に適用する。
• ヒルベルト空間$L_2$におけるノルム収束（多重級数）および点収束（繰り返し級数）を用いて収束を確立する。
• イタオ積分への変換を避け、直接的にストラトノビッチ積分をフーリエベースの近似によって分析する。
• 極限遷移の回数を1回に削減し、数値スキームにおける計算効率および安定性を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重度1〜4の反復ストラトノビッチ確率積分は、一般化されたフーリエ級数を用いてどのように展開できるか？
• RQ2 提案された展開成分の収束特性は何か？特に、$L_2$ノルム収束と点収束の両方の観点から。
• RQ3 反復イタオ積分を中間手段とせず、平均二乗収束を達成できるか？
• RQ4 フーリエ＝レジェンドル級数と三角関数的多重級数は、近似精度および収束速度においてどのように比較できるか？
• RQ5 1回の極限遷移は、確率積分の数値的安定性および効率をどの程度向上させるか？

主な発見

• 展開の第一部分は、$k=1,2,3,4$ に対して、ヒルベルト空間$L_2([t, T]^k)$ 内で一般化された多重フーリエ級数を用い、平均二乗収束する。
• 展開の第二部分は、一般化された繰り返しフーリエ級数を用い、点収束する。これにより、実用的近似における頑健性が保証される。
• 本手法は、1回の極限遷移でのみ収束を達成する。これは、従来の複数回の遷移を要する手法と比較して顕著な改善である。
• 本手法は、安定性および収束保証の観点から、イト型確率微分方程式の数値的解法に直接適用可能である。
• フーリエ＝レジェンドル級数および三角関数的多重級数の両方の使用が厳密に分析され、異なる基底関数への適用可能性が示された。
• 証明の過程でストラトノビッチ積分をイタオ積分に変換する必要がなく、理論的導出を簡素化するとともに、計算効率を向上させる。