[論文レビュー] Explicit formulas for p-adic integrals: approach to p-adic distributions and some families of special numbers and polynomials

Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 82被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、p進積分、特にボルケンボルン積分およびフェルミオン的p進積分に対する明示的な新公式を提示し、ベルヌーイ数、オイラー数、スターリング数、ダイヘー数、チャンギー数、中央階乗数などの基本的特殊数および多項式と関連付ける。本稿では、ベルヌーイ数およびオイラー数を第二種中央階乗数を用いて表現する2つの新しい数列$\mathcal{Y}(n,B)$および$\mathcal{Y}(n,E)$を導入し、p進積分の評価を通じて新たな計算的恒等式を提供する。

ABSTRACT

The main objective of this article is to give and classify new formulas of $p$-adic integrals and blend these formulas with previously well known formulas. Therefore, this article gives briefly the formulas of $p$-adic integrals which were found previously, as well as applying the integral equations to the generating functions and other special functions, giving proofs of the new interesting and novel formulas. The $p$-adic integral formulas provided in this article contain several important well-known families of special numbers and special polynomials such as the Bernoulli numbers and polynomials, the Euler numbers and polynomials, the Stirling numbers, the Lah numbers, the Peters numbers and polynomials, the central factorial numbers, the Daehee numbers and polynomials, the Changhee numbers and polynomials, the Harmonic numbers, the Fubini numbers, combinatorial numbers and sums. In addition, we defined two new sequences containing the Bernoulli numbers and Euler numbers. These two sequences include central factorial numbers, Bernoulli numbers and Euler numbers. Some computation formulas and identities for these sequences are given. Finally we give further remarks, observations and comments related to content of this paper.

研究の動機と目的

• p進積分、特にボルケンボルン積分およびフェルミオン的p進積分の新しい明示的公式を導出し、統一すること。
• これらの積分がベルヌーイ数、オイラー数、スターリング数、ラーハ数、ペタース数、ダイヘー数、チャンギー数、調和数など、よく知られた特殊数および多項式とどのように関連するかを明らかにすること。
• $\mathcal{Y}(n,B)$および$\mathcal{Y}(n,E)$という2つの新しい数列を定義し、それらがベルヌーイ数およびオイラー数を中央階乗数の線形結合として表現する方法を分析すること。
• p進積分の評価および母関数を用いて、これらの数列に関する計算的恒等式を確立すること。
• p進解析と数論および数理物理学における組合せ論的・特殊関数の枠組みを結びつける包括的なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 恒等式を導出するための中心的ツールとして、ボルケンボルン積分$\int_{\mathbb{Z}_p} f(x) d\mu_1(x)$およびフェルミオン的p進積分$\int_{\mathbb{Z}_p} f(x) d\mu_{-1}(x)$を用いる。
• これらの積分を生成関数および多項式展開、特に単項式$x^{2n}$および積$x^2(x^2-1)\cdots(x^2-(n-1)^2)$に適用する。
• 単項式を下り階乗的項の線形結合として表現するために、第二種中央階乗数$T(n,k)$を用いる。
• $x^j x_{(k)}$の積分評価を通じて、数列$\mathcal{Y}(n,B)$および$\mathcal{Y}(n,E)$を定義し、それらをベルヌーイ数およびオイラー数に関連付ける。
• 積分式を明示的な和に分解するために、第一種スターリング数$S_1(n,j)$および絶対値ラーハ数$|L(n,k)|$を用いる。
• ベルヌーイ数およびオイラー数に関する既知の恒等式とp進積分の結果を組み合わせることで、新しい閉形式の表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボルケンボルン積分およびフェルミオン的p進積分を、特殊数および多項式に関する新しい恒等式を導出するために体系的に応用する方法は何か？
• RQ2 中央階乗数$T(n,k)$は、p進積分を通じてベルヌーイ数およびオイラー数を表現する際に果たす役割は何か？
• RQ3 ベルヌーイ数およびオイラー数が$T(n,k)$および他の数列の線形結合によって回復できるような、新しい数列$\mathcal{Y}(n,B)$および$\mathcal{Y}(n,E)$を定義できるか？
• RQ4 $\mathcal{Y}(n,B)$および$\mathcal{Y}(n,E)$という新しい数列は、ダイヘー数やチャンギー数といった既存の数列とどのように関係するか？
• RQ5 p進積分および組合せ係数を用いて、$\mathcal{Y}(n,B)$および$\mathcal{Y}(n,E)$の明示的計算公式をどのように導出できるか？

主な発見

• ベルヌーイ数は$B_{2n} = \sum_{k=0}^{n} T(n,k) \mathcal{Y}(k,B)$を満たし、ここで$T(n,k)$は第二種中央階乗数である。
• オイラー数は$E_{2n} = \sum_{k=0}^{n} T(n,k) \mathcal{Y}(k,E)$を満たし、ベルヌーイの場合と対称的な構造を示す。
• $\mathcal{Y}(n,B)$は$\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=1}^{n} \sum_{m=0}^{k} S_1(n,j) S_1(k,m) B_{j+m} |L(n,k)|$として明示的に与えられ、スターリング数およびラーハ数と関連する。
• $\mathcal{Y}(n,E)$は$\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=1}^{n} \sum_{m=0}^{k} S_1(n,j) S_1(k,m) E_{j+m} |L(n,k)|$として与えられ、オイラー数の新たな計算経路を提供する。
• $\mathcal{Y}(n,B)$はダイヘー数$D_n$に一致し、$\mathcal{Y}(n,E)$はチャンギー数$Ch_n$に一致する。これにより、p進積分とこれらの特殊数列との間の新しい関係が確立される。
• 本稿では、$\mathcal{Y}(n,B)$および$\mathcal{Y}(n,E)$が単項式および下降階乗のp進積分によって計算可能であることを示しており、ベルヌーイ数およびオイラー数を評価する新しい手法を提供する。