[論文レビュー] Flat connections and Brauer Type Algebras

Zhi Chen|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、KZ型方程式に由来する平坦接続を用いて、擬反射群およびコックスター群の一般化されたブラウアー型代数 $B_G(\Upsilon)$ を導入する。$B_G(\Upsilon)$ は単純ラス型において既知の代数と同型であり、セルラ構造を備え、$G$ が二面体群または $H_3$ 型の場合に一般パラメータで半単純であることが示され、また複素ブレイド群の一般化されたローレンス＝クラメール表現をもたらす。

ABSTRACT

We introduce a Brauer type algebra $B_G (Υ) $ associated with every pseudo reflection group and every Coxeter group $G$. When $G$ is a Coxeter group of simply-laced type we show $B_G (Υ)$ is isomorphic to the generalized Brauer algebra of simply-laced type introduced by Cohen, Gijsbers and Wales ({\it J. Algebra}, {\bf 280} (2005), 107-153). We also prove $B_G (Υ)$ has a cellular structure and be semisimple for generic parameters when $G$ is a dihedral group or the type $H_3$ Coxeter group. Moreover, in the process of construction, we introduce a further generalization of Lawrence-Krammer representation to complex braid groups associated with all pseudo reflection groups.

研究の動機と目的

• 任意の擬反射群およびコックスター群に対して、平坦接続を用いてブラウアー型代数 $B_G(\Upsilon)$ を構成すること。
• すべての擬反射群に付随する複素ブレイド群に対するローレンス＝クラメール表現を一般化すること。
• $B_G(\Upsilon)$ が単純ラス型において既知の代数と同型であり、セルラ構造を備えることの確立。
• $G$ が二面体群または $H_3$ 型コックスター群である場合に、一般パラメータで $B_G(\Upsilon)$ が半単純であることを証明すること。
• $B_G(\Upsilon)$ が反射超平面の補集合上での平坦 $G$-不変接続から生じることの示唆。

提案手法

• 構成は、群 $G$ に付随する KZ型方程式に由来する平坦接続を用いる。この接続は $M_G = V \setminus \bigcup_{i\in P} H_i$ 上で定義される。
• $B_G(\Upsilon)$ はパラメータ $\mu_s$ と $m_i$ を含む生成元と関係式によって定義され、共役および軌道同値に関して不変である。
• 重要な技術的手段として、$M_G$ 上の正則1形式 $\omega_i = d\alpha_i / \alpha_i$ が挙げられ、これらは平坦接続構造の根幹を成す。
• 一般化ローレンス＝クラメール表現は、$M_G$ 上の平坦接続のモノドロミーを用いて構成され、複素ブレイド群 $A_G$ の表現をもたらす。
• セルラ構造は、反置換および平坦接続との整合性を用いて確立され、特に二面体群および $H_3$ の場合に有効である。
• 同型性の証明は、$B_G(\Upsilon)$ の関係と、例えば巡回ブラウアー代数や単純ラス型ブラウアー代数といった既知の代数との比較によってなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$ が非単純ラス型コックスター群である場合、$B_G(\Upsilon)$ は既知のブラウアー代数を一般化するか？
• RQ2 すべての擬反射群に付随する複素ブレイド群に対して、ローレンス＝クラメール表現を拡張できるか？
• RQ3 $G$ が二面体群または $H_3$ 型である場合に、一般パラメータで $B_G(\Upsilon)$ が半単純であるか？
• RQ4 $B_G(\Upsilon)$ は有限擬反射群に対してセルラ構造を備えるか？
• RQ5 KZ型平坦接続を用いて $B_G(\Upsilon)$ を BMW 型代数に変形できるか？

主な発見

• $G$ が単純ラス型コックスター群であるとき、$B_G(\Upsilon)$ はコーエン、ギジャンバース、ウォーズの一般化ブラウアー代数と同型である。
• $G$ が $G(m,1,n)$ 擬反射群であるとき、巡回ブラウアー代数は $B_G(\Upsilon)$ の直接的成分として現れる。
• 二面体群および $H_3$ 型コックスター群の場合、$B_G(\Upsilon)$ はセルラ構造を備え、一般パラメータで半単純である。
• $B_G(\Upsilon)$ は $M_G$ 上に平坦 $G$-不変接続を備え、単純ラス型の場合に観察された現象を一般化する。
• この構成により、平坦接続のモノドロミーを用いて複素ブレイド群 $A_G$ の一般化ローレンス＝クラメール表現が得られる。
• 自然な反置換が $B_G(\Upsilon)$ に存在し、特定の状況でセルラ構造の構成を可能にする。