[論文レビュー] For maximally monotone linear relations, dense type, negative-infimum type, and Fitzpatrick-Phelps type all coincide with monotonicity of the adjoint

Heinz H. Bauschke, Jonathan M. Borwein+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2011

Optimization and Variational Analysis参考文献 43被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間上の最大単調線形関係について、稠密型（D）、負の下界型（NI）、フィッツパトリック＝フレルス型（FP）の性質が互いに同値であり、すべてが随伴作用素の単調性と同値であることを確立する。証明は、単調作用素論における2つの長年の未解決問題を解消する。作用素の随伴の単調性が、3つの型すべてを含意することと、逆にそれらの型すべてが随伴の単調性を含意することを示しており、バナッハ空間における凸解析および双対性理論の高度な道具を用いている。

ABSTRACT

It is shown that, for maximally monotone linear relations defined on a general Banach space, the monotonicities of dense type, of negative-infimum type, and of Fitzpatrick-Phelps type are the same and equivalent to monotonicity of the adjoint. This result also provides affirmative answers to two problems: one posed by Phelps and Simons, and the other by Simons.

研究の動機と目的

• フェルスとサイモンズが提起した問題に解答する：随伴作用素の単調性が、線形で最大単調作用素について型（D）を含意するか。
• サイモンズの質問に答える：線形で最大単調作用素について、型（FP）が型（NI）を含意するか。
• 最大単調作用素の3つの異なる型（D）、（NI）、（FP）を、随伴の単調性による1つの特徴づけで統一する。
• 連続線形作用素に既知の結果を一般の線形関係へと拡張する。
• Fenchel共役と双対性を用いて、線形関係の文脈における単調性型の包括的特徴づけを提供する。

提案手法

• 作用素のグラフおよびその随伴の構造を分析するために、Fenchel共役と双対性理論を用いる。
• 双対空間における弱*×強いネットの収束を用いて、型（D）作用素を特徴付ける。
• 指示関数とepigraph的技法を用いて、作用素のグラフの凸性および閉性の性質を扱う。
• Fenchel-Moreau定理と劣微分計算を用いて、単調性型の必要十分条件を導出する。
• 関数 $ F(x,x^*) = \langle x,x^*\rangle + \iota_{\operatorname{gra}A}(x,x^*) $ のFenchel共役を用いて、作用素の性質とその随伴を結びつける。
• 極小畳み込みと指示関数の連続性に基づく背理法を用いて、重要な不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 随伴作用素の単調性は、最大単調線形関係が型（D）であることを含意するか。
• RQ2 型（FP）であることは、最大単調線形関係が型（NI）であることを含意するか。
• RQ3 一般のバナッハ空間における最大単調線形関係について、3つの型（D）、（NI）、（FP）が同値であるか。
• RQ4 作用素の連続性を仮定せずに、これらの型の同値性を確立できるか。
• RQ5 随伴の単調性と、最大単調作用素の3つの型との正確な関係は何か。

主な発見

• バナッハ空間上の最大単調線形関係について、3つの型（D）、（NI）、（FP）は同値である。
• 随伴作用素の単調性は、最大単調作用素の3つの型すべてと同値である。
• この論文は、単調作用素論における既知の含意の逆についてフェルスとサイモンズが提起した問題に肯定的な答えを与える。
• この論文は、サイモンズの問題47.6を解き、線形で最大単調作用素について型（FP）が型（NI）を含意することを示している。
• 作用素の連続性を仮定しなくても同値性が成立し、従来の結果が一般の線形関係の設定へと拡張されている。
• $ L^1[0,1] $ 上の作用素 $ A $ について、型（D）、（NI）、（FP）を満たし、かつ $ A^* $ が単調である明示例が提示され、理論の妥当性が確認されている。