[論文レビュー] Galerkin approximations of nonlinear optimal control problems in Hilbert spaces

Mickaël D. Chekroun, Axel Kröner+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering参考文献 63被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、ヒルバート空間における非線形最適制御問題に対するガラーキン近似の収束を確立し、真の値関数への近似値関数の一様収束を保証する最小限で検証可能な条件を同定することで、その収束を示している。この手法はトロッター＝カトウ半群理論を活用し、コンパクト多様体上の半線形熱方程式や球面上のエネルギー収支気候モデルに適用可能であり、広範な非線形制御戦略およびコスト関数への収束を保証する。

ABSTRACT

Nonlinear optimal control problems in Hilbert spaces are considered for which we derive approximation theorems for Galerkin approximations. Approximation theorems are available in the literature. The originality of our approach relies on the identification of a set of natural assumptions that allows us to deal with a broad class of nonlinear evolution equations and cost functionals for which we derive convergence of the value functions associated with the optimal control problem of the Galerkin approximations. This convergence result holds for a broad class of nonlinear control strategies as well. In particular, we show that the framework applies to the optimal control of semilinear heat equations posed on a general compact manifold without boundary. The framework is then shown to apply to geoengineering and mitigation of greenhouse gas emissions formulated for the first time in terms of optimal control of energy balance climate models posed on the sphere $\\mathbb{S}^2$.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間フレームワーク内での非線形最適制御問題におけるガラーキン近似の収束を保証する十分条件を確立すること。
• 線形の進化方程式から非線形の進化方程式（半線形放物型PDEや非線形遅れ微分方程式を含む）への既存の収束結果の拡張。
• ガラーキン近似された最適制御問題に関連する値関数の一様収束を、最小限で検証可能な仮定のもとで保証すること。
• エネルギー収支気候モデル（球面上）やコンパクト多様体上の半線形熱方程式といった実世界のシステムへの適用可能性を示すこと。
• 固有関数に基づくガラーキン基底に限らない一般化された枠組みを提供し、非理想的なスペクトル基底の使用を可能とすること。

提案手法

• ガラーキン近似の収束を分析するために、$C_0$-半群理論からのトロッター＝カトウ近似枠組みを用いる。
• 時間および許容可能な制御の両方において、ガラーキン状態が真の制御状態に一様収束することを確立し、これが値関数収束を保証する。
• 状態および制御に依存する非線形項を扱うために、標準的な局所リプシッツ条件を一般化するための仮定(A7)を導入する。
• コンパクトリーマン多様体上の半線形熱方程式に、有限次元部分空間への直交射影を用いて適用する。
• 球面上のエネルギー収支モデル（EBMs）にこの手法を適応し、地球工学や温室効果ガス削減を最適制御問題としてモデル化する。
• 弱位相のアプローチとコンパクト性の議論を用いて、標準的な関数解析的条件下で最適制御の存在および収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間における非線形最適制御問題において、ガラーキン近似の値関数が真の値関数に収束するための最小限で検証可能な条件は何か？
• RQ2 トロッター＝カトウ枠組みをどのように拡張すれば、状態および制御に依存する非線形性が存在する状況でも、制御された軌道および値関数の一様収束を保証できるか？
• RQ3 基底関数が線形作用素の固有関数でない場合、ガラーキン近似枠組みはどの程度有効に保たれるか？
• RQ4 地球工学や排出削減戦略を対象とする場合、球面上のエネルギー収支モデルに収束理論を適用できるか？
• RQ5 この非線形かつ無限次元の設定において、値関数および最適制御の収束に関する誤差推定はどのように導出可能か？

主な発見

• 仮定(A7)のもとで、ガラーキン近似された最適制御問題の値関数は点単位で真の値関数に収束する。この仮定は、非線形項に対して標準的なリプシッツ条件を一般化する。
• 時間および許容可能な制御の両方において、ガラーキン状態が一様収束することを、値関数収束を保証する主要なメカニズムとして確立し、定理2.1および系2.1で形式化した。
• コンパクト多様体上の半線形熱方程式にこの枠組みを適用可能であり、非線形性および制御集合に関する標準的仮定のもとで収束が保証される。
• この手法は非線形遅れ微分方程式系にも拡張可能であり、ENSOのような複雑な力学的システムのモデルにまで適用範囲を広げられる。
• 値関数の収束に関する誤差推定が導出され、提案された仮定のもとで定量的境界が得られる。
• ガラーキン基底が線形作用素の固有関数でない場合でも、このアプローチは有効であり、より柔軟で問題固有の基底関数の使用を可能にする。