[論文レビュー] Geometry of polynomial mappings at infinity via intersection homology

Anna Valette, Guillaume Valette|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非消えるヤコビアンを持つ多項式写像 $F: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ に関連する擬多様体 $N_F$ を導入し、交差ホモロジーと $L^\infty$ コホモロジーを用いて無限遠における特異点を解析する。$F$ が非正則であることは、$N_F$ の $L^\infty$ コホモロジ一または交差ホモロジーが非自明であることと同値であることを証明し、構築された特異空間の位相的不変量を用いた、ヤコビアン予想に対する新しい微分幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

For given polynomial map $F:\C^2 o\C^2$ with nonvanishing jacobian we associate a variety whose homology or intersection homology describes the geometry of singularities at infinity of this map.

研究の動機と目的

• 非消えるヤコビアンを持つ多項式写像の非正則性を検出するための新しい位相的不変量を開発すること。
• $F: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ の無限遠における特異点の幾何と、構築された擬多様体 $N_F$ のホモロジーを関連させること。
• $F$ の非正則性と $N_F$ の $L^\infty$ コホモロジ一または交差ホモロジーの非自明性との間の関係を確立すること。
• 特異空間と計量的不変量を用いて、ヤコビアン予想を微分幾何的再定式化すること。

提案手法

• 写像 $F$ のグラフと $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{C}^2$ におけるその閉包から $N_F$ を構成し、グラフを除いて漸近的挙動を分離する。
• 漸近的多様体としての Jelonek 集合 $J_F$ を用い、一般に有限な写像に対しては $1$ 次元の複素有理被覆多様体である。
• 正則部分 $\mathrm{Reg}(N_F^R)$ を定義し、最大のパーサーシティにおける $L^\infty$ コホモロジーと交差ホモロジーを結ぶ de Rham 定理を用いて、$L^\infty$ コホモロジーを分析する。
• Nash の強い変形再びと無限遠における接錐を用いて、漸近的サイクルとその境界性を解析する。
• 半代数的族と変形再びを用いて、無限遠における非自明なサイクルが $N_F^R$ の非自明なホモロジーを意味することを示す。
• すべてのストラトゥムが偶数余次元であるため、$N_F$ は交差ホモロジーにおいて Poincaré双対性を満たす、分離的擬多様体である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非消えるヤコビアンを持つ多項式写像 $F: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ が非正則であるのはいつか？
• RQ2 このような写像の非正則性は、$F$ から構築された特異空間の位相的不変量によって検出可能か？
• RQ3 $N_F^R$ の正則部分の $L^\infty$ コホモロジーは、$F$ の漸近的幾何とどのように関係するか？
• RQ4 交差ホモロジーは、多項式写像の無限遠における特異点の位相をどのように捉えているか？
• RQ5 ヤコビアン予想は、擬多様体 $N_F$ の交差ホモロジーまたは $L^\infty$ コホモロジーの消滅という形で再定式化可能か？

主な発見

• $F: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ が非消えるヤコビアンを持つとき、$F$ が非正則であることは、十分大きな $R$ に対して $L^\infty$ コホモロジー $H^2_\infty(\mathrm{Reg}(N_F^R))$ が非自明であることと同値である。
• 十分大きな $R$ に対して、$N_F^R := N_F \cap \overline{B}(0,R)$ は境界を持つ分離的擬多様体である。
• 写像 $F$ によって有界な集合 $A$ の無限遠における接錐 $C_\infty(A)$ は、$F$ の初期形の零点集合に含まれる。
• もし $F$ が正則であれば、$N_F$ は $\mathbb{C}^2$ に位相的に同型であり、$H_2(N_F) = IH^\overline{t}_2(N_F) = 0$ であるため、2次元ホモロジーが自明である。
• $S^1 \cdot a$ は $E'_0 \subset V \cap S^3$ 内のチェインによって境界づけられるが、そのホモロジー類の非自明性に反するため、非正則性が示される。
• $L^\infty$ 形式における de Rham 定理により、最大のパーサーシティにおける $L^\infty$ コホモロジーと交差ホモロジーの同型が確立され、これによりコロナリー 3.4 の主要な同値性が得られる。