[論文レビュー] Global strong solution to the density-dependent incompressible flow of liquid crystals

Xiaoli Li, Dehua Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、初期密度が真空中から有界に離れている3次元有界領域における密度依存性非圧縮性ネマチック液晶の流れに対して、グローバルな強い解の存在と一意性を確立する。エネルギー推定、ソボレフ不等式、およびグローバルの不等式を用いて、初期データが小さい場合にはグローバルな強い解が存在し、初期データが大きい場合には局所的な強い解が存在することを証明し、強い解が存在するときには弱解が強い解と一致することを示している。

ABSTRACT

The initial-boundary value problem for the density-dependent incompressible flow of liquid crystals is studied in a three-dimensional bounded smooth domain. For the initial density away from vacuum, the existence and uniqueness is established for both the local strong solution with large initial data and the global strong solution with small data. It is also proved that when the strong solution exists, a weak solution with the same data must be equal to the unique strong solution.

研究の動機と目的

• 初期データが大きい場合の密度依存性非圧縮性ネマチック液晶の流れに対する局所的強い解の存在と一意性を確立すること。
• 初期データが小さい条件の下で、3次元有界な滑らかな領域におけるグローバルな強い解の存在を証明すること。
• 強い解が存在するとき、同じ初期および境界条件を持つ任意の弱解が、一意的な強い解と一致することを示すこと。
• 速度場と方位場の調和写像流れとの間の結合を分析すること。
• 可変密度およびスリップなし境界条件を伴うネマチック液晶の流体力学の厳密な数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• 密度の連続の方程式、方位場からの異方的応力を含む運動量方程式、および指向場の輸送方程式から成る連立偏微分方程式系を定式化する。
• 速度場および指向場の法線微分に対して、スリップなしおよびフラックスなしの境界条件を課す。
• 非線形項（速度、密度、方位勾配に関連する項）を制御するために、エネルギー推定およびソボレフ埋め込みを適用する。
• 指向場方程式に対する放物型正則性推定を用いて、ホルダー連続性および時間に一様な有界性を導出する。
• 解の差にグローバルの不等式を適用して、2つの解の差が恒等的に消えることを示すことで、一意性を証明する。
• 初期密度が真空中から有界に離れているという仮定に依存し、運動量方程式における退化を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度依存性非圧縮性ネマチック液晶の流れに対して、どのような条件下でグローバルな強い解が存在するか。
• RQ2 大きな初期データが存在する状況において、強い解の一意性を確立できるか。
• RQ3 この系において、弱解と強い解の関係はどうなっているか—両者が存在するとき、一致するか。
• RQ4 速度、密度、方位場の間の非線形結合は、解の正則性および長時間挙動にどのように影響するか。
• RQ5 初期密度が真空中からどれほど離れているかが、解の存在および一意性に果たす役割は何か。

主な発見

• 初期密度が真空中から有界に離れている3次元有界な滑らかな領域において、初期データが小さい場合にはグローバルな強い解が存在する。
• 初期データが大きい場合には局所的な強い解が存在し、解の存続期間は初期データの大きさに依存する。
• 強い解は一意的であり、解の差にグローバルの不等式を適用することで、初期データに対して連続的に依存することが示された。
• 同じ初期および境界条件を持つ任意の弱解は、強い解が存在するとき、一意的な強い解と一致する。
• 系の構造のおかげで、エネルギー推定および正則性バインディングが非線形項を十分に制御でき、存在および一意性を保証する。
• 運動量方程式における退化を回避し、エネルギー推定における強制性を維持するために、初期密度が真空中から有界に離れていることが証明に不可欠である。