[論文レビュー] Hodge-Iwasawa Theory I

Xin T. Tong|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、相対 $p$-進ホッジ理論と非可換イwasawa理論の同時一般化として、$p$-進表現、エタール局所系統、およびイwasawaコホモロジーの家族を統一的に研究するための枠組みを提供するホッジ-イwasawa理論を導入する。インダクティブ・フレシェ代数およびスケーマティック相対ファルグス＝フォンタイン曲線の上に変形された周期環と層を構成し、コホモロジー関手が $K$-理論上で零ホモトープ写像を誘導するウォルダウゼン $K$-理論的枠組みを確立することで、$\epsilon$-同型予想に対する新たな視点を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we are going to establish a simultaneous generalization of the relative Iwasawa theory proposed by Kedlaya-Pottharst and the relative $p$-adic Hodge theory after Kedlaya-Liu. We call this Hodge-Iwasawa theory in the sense that one could apply the theory to study noncommutative Iwasawa cohomology and noncommutative Iwasawa theories in families and meanwhile one could apply the theory to study the deformation theory of étale local systems or families of representations of fundamental groups or the equivariant constructible $p$-adic sheaves, with more sophisticated point of view coming from Kato, Fukaya-Kato. We follow closely the approach of Kedlaya-Liu to study the corresponding modules and sheaves over the corresponding deformed version of the period rings and period sheaves.

研究の動機と目的

• 相対 $p$-進ホッジ理論と非可換イwasawa理論を共通の枠組みで統一すること。
• 変形された周期環を用いて、$p$-進表現およびエタール局所系統の家族への一般化を図ること。
• ウォルダウゼン圏を用いて、非可換かつ $G$-作用をもつ $p$-進層のコホモロジカルおよび $K$-理論的枠組みを構築すること。
• ホッジ-イwasawaモジュールを用いて、タマガワ-イwasawa理論をより高いホモトピー的および幾何的状況へ拡張すること。
• $\epsilon$-同型予想の $p$-進設定における幾何的およびモチーフ的解釈を提供すること。

提案手法

• インダクティブ・フレシェ代数および変形されたスケーマティック相対ファルグス＝フォンタイン曲線の上にホッジ-イwasawa層およびベクトル束を構成する。
• ケドレイヤ・リウの手法を変形された周期環と層に適用し、イwasawa設定における $\widetilde{\Pi}_{L,A}$-加群の一般化を図る。
• フレシェ・スタインおよび相対ファルグス＝フォンタイン曲線の剛体解析的変形を用いて、$p$-進表現の家族をモデル化する。
• $X_\sharp$ 上の完全複体から完全 $T$-加群へのウォルダウゼン正確関手 $R\Gamma_\emptyset(X_\sharp, \cdot)$ を定義する。
• [KL] における有限性およびコホモロジー次元の結果を用いて、誘導される $K$-理論写像がホモトープ的にゼロであることを示す。
• [FK, 系 2.1.3] に従い、ヤコブソン根基の商と半単純還元を用いて、有限体への還元を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対 $p$-進ホッジ理論と非可換イwasawa理論を、一貫した枠組みで同時に一般化する方法は何か？
• RQ2 変形された周期環と層は、$p$-進表現およびエタール局所系統の家族をモデル化する上で果たす役割は何か？
• RQ3 ウォルダウゼン $K$-理論と $\epsilon$-同型予想は、構成可能層の $p$-進設定においてどのように作用し合うか？
• RQ4 コホモロジー関手 $R\Gamma_\emptyset(X_\sharp, \cdot)$ は、$p$-進設定において $K$-理論上で零ホモトープ写像を誘導するか？
• RQ5 ホッジ-イwasawaモジュールに対するタマガワ-イwasawa理論のより高いホモトピー的および幾何的解釈は何か？

主な発見

• コホモロジー関手 $R\Gamma_\emptyset(X_\sharp, \cdot)$ によって誘導されるウォルダウゼン $K$-理論写像は、$\mathrm{Spa}(\mathbb{Q}_p, \mathfrak{o}_{\mathbb{Q}_p})$ 上でホモトープ的にゼロ写像である。
• この零ホモトピー結果は、係数環 $T$ をもつ変形された剛体空間 $X_\sharp$ 上の完全複体の圏 $\mathbb{D}_{\mathrm{perf}}(X_\sharp, T)$ に対しても成り立つ。
• 証明は、$\mathbb{Q}_p^{\mathrm{ur}}$ 上の $p$-進設定における [KL, 8.1, 10.1] の有限性およびコホモロジー次元定理に依拠している。
• ヤコブソン根基の商 $T/I$ を通じた有限体への還元により、半単純および有限体の状況を用いることが可能になる。
• この枠組みは、[FK]、[F]、[BB]、[LZ]、および [Nak3] の結果を拡張し、$\epsilon$-同型予想を $p$-進設定へ一般化する。
• この理論は、ホッジ-イwasawaモジュールを通じて、非可換イwasawaコホモロジーや構成可能 $p$-進層の新しい幾何的およびモチーフ的視点を提供する。