[論文レビュー] Integration Order Replacement Technique for Iterated Ito Stochastic Integrals and Iterated Stochastic Integrals With Respect to Martingales

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、反復伊藤確率積分およびマルティンゲールに関する反復確率積分に対して、古典的リーマン積分の規則に類似した形式的取り扱いを可能にする統合順序の置換技術を導入する。主な貢献は、特定の条件下で、これらの確率積分において統合順序を自由に交換可能であることを示す定理群の構築である。これにより、恒等式の導出が簡略化され、テイラー型展開や近似法の効率的構築が可能になる。

ABSTRACT

The article is devoted to the integration order replacement technique for iterated Ito stochastic integrals and iterated stochastic integrals with respect to martingales. We consider the class of iterated Ito stochastic integrals, for which with probability 1 the formulas of integration order replacement corresponding to the rules of classical integral calculus are reasonable. The theorems on integration order replacement for the class of iterated Ito stochastic integrals is proven. Many examples of this theorems usage have been considered. These results are generalized for the class of iterated stochastic integrals with respect to martingales.

研究の動機と目的

• 反復伊藤確率積分における統合順序の交換を、古典的積分法に類似した形式的技術として開発すること。
• この技術をマルティンゲールに関する反復確率積分へと拡張し、適用範囲を広げること。
• 反復確率積分同士の関係を導出する際の伊藤の公式に代わる、体系的かつ知的負荷の低い代替手法を提供すること。
• 一般化された多重フーリエ級数に基づく統一的テイラー＝伊藤およびテイラー＝ストラトニヴィッチ展開、および二乗平均近似法の開発を支援すること。

提案手法

• この技術は、反復伊藤確率積分における統合順序の交換が、積分値に影響を及げない条件を確立する定理の証明に基づく。
• この手法は、伊藤積分の平均二乗極限定義とステップ関数近似を用いて収束性と等価性を確立する。
• マルティンゲール積分の場合、新たな確率積分表現を導入し、被積分関数とフィルトレーションに関する条件下でその等価性を証明することで、結果を拡張する。
• このアプローチは、局所マルティンゲールおよびウィener過程によって生成されるフィルトレーションに関して可測な適応過程の概念を用いる。
• 重要な式は、被積分関数が [0,T] 上で適応的かつ二乗可積分であると仮定した、リーマン＝スタイリジス和の極限として定義される反復積分である。
• この技術は、特に任意の多重度の多重積分に対して古典的統合順序規則を確率的設定へ一般化する定理（定理1〜8）を通じて形式化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復伊藤確率積分における統合順序は、古典的リーマン積分に類似した形式的交換が可能か。
• RQ2 任意の多重度の反復伊藤確率積分において、統合順序の置換が成立する条件は何か。
• RQ3 統合順序の置換技術は、マルティンゲールに関する反復確率積分へどのように一般化可能か。
• RQ4 この技術が統一的テイラー＝伊藤およびテイラー＝ストラトニヴィッチ展開の構築に与える影響は何か。
• RQ5 この手法は、反復確率積分を含む恒等式を導出する際の伊藤の公式に代わる、より効率的な代替手段として機能可能か。

主な発見

• 被積分関数が適応的かつ二乗可積分であるという条件下で、任意の多重度の反復伊藤確率積分に対して、統合順序の置換技術は形式的に有効である。
• この技術により、古典的微積分に類似した統合順序の交換が可能となり、反復確率積分の恒等式の導出が著しく簡略化される。
• マルティンゲールに関する反復確率積分について、積分の存在および被積分関数の適応性を保証する条件下で、技術は一般化され、有効であることが証明された。
• 与えられた条件下で、異なる積分表現（例：S と S'）の等価性が確立され、形式的体系の整合性が保証される。
• 反復確率積分間の関係を導出する際の伊藤の公式に代わる、体系的かつより直感的でない代替手法を提供し、知的負荷を低減する。
• この技術は、統一的テイラー＝伊藤およびテイラー＝ストラトニヴィッチ展開の構築および一般化された多重フーリエ級数に基づく二乗平均近似法の開発に、成功裏に応用されている。