[論文レビュー] Internal Language of Finitely Complete $(\infty, 1)$-categories

Chris Kapulkin, Karol Szumiło|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ジョーラのトライブスとファイブレーションカテゴリの間の同型を確立し、トライブスがファイブレーションカテゴリと同等のホモトピー的枠組みを提供することを示している。その結果、ミンツ＝ローフ型理論に依存する和と内挿的同一性型が、有限極限を備えた$(\infty, 1)$-圏の内部言語であるという予想の変種を支持する。

ABSTRACT

We prove that the homotopy theory of Joyal's tribes is equivalent to that of fibration categories. As a consequence, we deduce a variant of the conjecture asserting that Martin-Lof Type Theory with dependent sums and intensional identity types is the internal language of $(\infty, 1)$-categories with finite limits.

研究の動機と目的

• ジョーラのトライブスとファイブレーションカテゴリの間のホモトピー的同型を確立すること。
• 高次の圏におけるミンツ＝ローフ型理論の解釈のための基礎的枠組みを提供すること。
• 有限極限を備えた$(\infty, 1)$-圏との関連で型理論を結びつける予想の変種を検証すること。
• トライブスが、良好なホモトピー的構造を備えた$(\infty, 1)$-圏のモデルとして果たす役割を明確にすること。
• 型理論的構成と高次の圏的意味論の間のギャップを埋めること。

提案手法

• ジョーラのトライブス理論を、$(\infty, 1)$-圏のホモトピー的枠組みとして用いる。
• ホモトピー的昇降性質を用いて、トライブスがファイブレーションカテゴリの公理を満たすことを証明する。
• トライブスとファイブレーションカテゴリのモデル構造の間でクイレン同型を確立する。
• 高次の圏論の結果を応用し、型理論的構成と圏論的極限を関連付ける。
• ファイブレーションカテゴリの内部論理を用いて、依存する和と同一性型を解釈する。
• 同型を活用して、トライブスとファイブレーションカテゴリの間で性質を移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョーラのトライブスとファイブレーションカテゴリの間にはホモトピー的同型が存在するか？
• RQ2 トライブスは、型理論と整合する形で、有限極限を備えた$(\infty, 1)$-圏のモデルとして機能できるか？
• RQ3 トライブスとファイブレーションカテゴリの同型は、型理論の内部言語予想を支持するか？
• RQ4 この同型を通じて、依存する和と内挿的同一性型は、$(\infty, 1)$-圏の文脈でどのように生じるか？
• RQ5 ファイブレーションカテゴリは、ミンツ＝ローフ型理論を高次の圏の内部言語として実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• ジョーラのトライブスのホモトピー理論は、ファイブレーションカテゴリのホモトピー理論とクイレン同型である。
• この同型は、トライブスがホモトピー的構造と整合する形で、有限極限を備えた$(\infty, 1)$-圏をモデル化することを示唆する。
• ファイブレーションカテゴリの内部論理は、依存する和と内挿的同一性型を支持する。
• この同型は、高次の圏におけるミンツ＝ローフ型理論の解釈のための新しい基盤を提供する。
• 結果は、型理論が有限極限を備えた$(\infty, 1)$-圏の内部言語であるという予想の変種を検証する。
• この枠組みは、トライブスが型理論の高次の圏的意味論の適切なモデルであることを確立する。