[論文レビュー] Is ergodicity a reasonable hypothesis?

Bernard Gaveau, L. S. Schulman|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、1モルの気体ですら、宇宙の年齢に比べて途方もないほど大きな位相空間を有するため、マクロな系が時間的にすべての利用可能なマイクロ状態を探索するというエルゴドリシティが物理的に不可能であると主張している。量子力学的状態数の数え上げと時間スケールの推定を用いて、著者らは、宇宙の年齢の間には訪問可能な状態の割合が実質的にゼロであることを示しており、統計力学の基礎的仮定であるすべてのマイクロ状態が等確率であるという仮定に疑問を呈している。

ABSTRACT

In the physics literature "ergodicity" is taken to mean that a system, including a macroscopic one, visits all microscopic states in a relatively short time. We show that this is an impossibility even if that time is billions of years. We also suggest that this feature does not contradict most physical considerations since those considerations deal with correlations of only a few particles.

研究の動機と目的

• マクロ系がすべての利用可能なマイクロ状態を訪問するというエルゴドリシティの仮定が、物理的に妥当でないことを示すこと。
• 宇宙の年齢にわたる1モルの窒素ガスが訪問する位相空間の割合を推定することで、エルゴドリシティの不可能性を定量化すること。
• エルゴドリシティの失敗と統計力学の実験的成功の両立を、低次の相関関数が影響を受けないことを示して説明すること。
• 統計力学の成功が完全なエルゴドリシティに依存しているのではなく、典型性と観測量の局所的緩和に起因することを主張すること。

提案手法

• アボガドロ数と10 nm解像度での空間量子化を用いて、300 Kの1立方メートルのN₂ガス内の量子力学的マイクロ状態の数を数える。
• 分子が10 nmの箱を通過するのに要する時間を推定し、通過時間は約1.93 × 10⁻¹¹ sであると算出する。
• ビッグバン以降に可能な状態遷移の総数を推定し、約10²⁸.⁴の遷移に達する。
• これに対して、全マイクロ状態数（約10^(2.9193 × 10²³)）と比較することで、訪問された状態の割合が実質的にゼロであることを示す。
• ド・ブロイ波長と位相空間体積を用いた量子力学的状態数の上限を求める。
• ステーディアムビリヤードやキャットマップダイナミクスといったモデル系を分析し、完全なエルゴドリシティがなくても、密度やエントロピーといった局所的観測量が急速に平衡に達することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1モルの気体のようなマクロ系が、宇宙の年齢の間、すべての利用可能なマイクロ状態を訪問するのは物理的に可能か？
• RQ2 完全なエルゴドリシティの失敗が、特に等確率事前仮説を含む統計力学の基礎を無効にしないか？
• RQ3 すべてのマイクロ状態を訪問できないにもかかわらず、なぜ標準的な統計力学の予測が正確に成立するのか？
• RQ4 1粒子分布などの低次の相関関数の緩和は、完全なエルゴドリシティがなくても起こり得るか？
• RQ5 統計力学の成功は、位相空間の全探索ではなく、実際に訪問される状態の典型性に起因する程度はどの程度か？

主な発見

• 宇宙の年齢にわたる1モルのN₂ガスが訪問するマイクロ状態の割合は、およそ10^(-(2.9193 - ε) × 10²³)であり、実質的にゼロである。
• 非相互作用粒子と10 nm解像度といった理想化された仮定のもとでも、訪問可能な状態数は、利用可能な全状態数に比べて無視できるほど小さい。
• すべての状態を探索するのに要する時間は、宇宙の年齢よりもはるかに長く、マクロ系に対してはエルゴドリシティは物理的に不適切な仮説である。
• エルゴドリシティの失敗にもかかわらず、粒子密度や圧力の揺らぎといった低次の観測量は、統計力学によってうまく記述される。
• ステーディアムビリヤードやキャットマップダイナミクスといったモデル系は、完全な位相空間探索が不可能な中でも、局所的緩和と均一な密度の迅速な出現を示している。
• 統計力学の成功は、エルゴドリシティそのものに起因するのではなく、実際に訪問される状態の典型性に起因しており、それらは正しいマクロな予測をもたらす。