[論文レビュー] New Simple Method of Expansion of Iterated Ito Stochastic integrals of Multiplicity 2 Based on Expansion of the Brownian Motion Using Legendre Polynomials and Trigonometric Functions

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ルジャンドル多項式および三角関数を用いたブラウン運動の正規直交展開を用いて、重複度2の反復伊藤確率積分を展開する、新たな簡素化された手法を提示する。主な貢献は、古典的な三角関数表現よりも単純な形であり、展開次数が増加するにつれて平均二乗収束およびほとんど確実収束を保証する、リーヴィ確率的面積の新規な多項式表現である。

ABSTRACT

The article is devoted to the expansion of iterated Ito stochastic integrals of second multiplicity based on expansion of the Brownian motion (standard Wiener process) using complete orthonormal systems of functions in the space $L_2([t, T]).$ The cases of Legendre polynomials and trigonometric functions are considered in details. We obtained a new representation of the Levy stochastic area based on the Legendre polynomials. This representation was first derived in the author's work (1997). In this article, we obtain the mentioned representation by a simpler method compared to the author's work (1997). Also, we get the polynomial representation of the Levy stochastic area using the method of expansion of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multple Fourier series. The polynomial representation of the Levy stochastic area has more simple form in comparison with the classical trigonometric representation of the Levy stochastic area. The convergence in the mean of degree $2n$ $(n\in\mathbb{N})$ as well as the convergence with probability 1 for approximations of the Levy stochastic area are proved. The results of the article can be applied to the numerical solution of Ito stochastic differential equations as well as to the numerical approximation of mild solution for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations.

研究の動機と目的

• 重複度2の反復伊藤確率積分を展開する、新たなより単純な手法の開発。
• 古典的な三角関数形よりも優れた、ルジャンドル多項式を用いたリーヴィ確率的面積の多項式表現の導出。
• リーヴィ確率的面積の近似における平均二乗収束およびほとんど確実収束の確立。
• 伊藤型確率微分方程式および非可換線形でない半線形SPDEの弱解のより効率的な数値的解法の実現。

提案手法

• 区間 $L_2([t,T])$ における完全正規直交系として、特にルジャンドル多項式および三角関数を用いてブラウン運動を展開する。
• 重複度2の反復伊藤確率積分を表現するために、一般化された多重フーリエ級数を適用する。
• 複雑な三角関数級数を避けるために、ルジャンドル多項式展開を用いてリーヴィ確率的面積の新規表現を導出する。
• 恒等式 $I_{T,t}^{(i_1i_2)} = \frac{1}{2}I_{T,t}^{(i_1)}I_{T,t}^{(i_2)} + A_{T,t}^{(i_1i_2)}$ を用いて、反復積分とリーヴィ面積を関連付ける。
• 独立な標準正規確率変数の有限和を用いて、近似 $A_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ および $\hat{A}_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ を構築する。
• モーメント推定および級数収束の議論を用いて、$q \to \infty$ のときの $L^{2n}$ 収束およびほとんど確実収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動のルジャンドル多項式展開を用いて、リーヴィ確率的面積のより単純で効率的な表現を導出可能か？
• RQ2 古典的な三角関数表現と比較して、ルジャンドル多項式に基づくリーヴィ面積の多項式表現は、複雑さと収束性においてどのように異なるか？
• RQ3 重複度2の反復伊藤積分のルジャンドル多項式に基づく近似の平均二乗収束およびほとんど確実収束の速度はどの程度か？
• RQ4 本手法は、伊藤型SDEおよびSPDEの数値スキームの改善に応用可能か？

主な発見

• 本稿では、ルジャンドル多項式を用いたリーヴィ確率的面積の新規な多項式表現を導出しており、古典的な三角関数形よりも単純である。
• 近似 $A_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ の平均二乗誤差は $C_1 \frac{(T-t)^2}{q}$ で有界であり、$O(1/q)$ 収束を示している。
• 代替近似 $\hat{A}_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ の平均二乗誤差も $C_2 \frac{(T-t)^2}{q}$ で有界であり、同様に $O(1/q)$ 収束を示している。
• $L^{2n}$-ノルムの誤差は $q \to \infty$ のときゼロに収束し、定数 $C_{n,2}$（$n$ および $k=2$ に依存）を含む評価式が得られる。
• ボレル＝カンテリの補題およびモーメント級数のsummabilityを用いて、両近似 $A_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ および $\hat{A}_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ が真のリーヴィ面積にほとんど確実に収束することを証明した。
• 1997年の先行研究と比較して、ルジャンドル多項式に基づく表現の導出がより直接的かつ簡素化されている。