[論文レビュー] Numerical Simulation of 2.5-Set of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 5 From the Taylor-Stratonovich Expansion

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、一般化された多重フーリエ＝レジェンドル級数を用いて、多重度1〜5の反復ストラトノビッチ確率積分の新しい平均二乗近似法を提示する。$L_2([t,T]^k)$における直交展開を活用することで、非可換な多次元ノイズを有する Ito SDE に対して高精度な数値積分が可能となり、2.5次精度の明示的一次ステップ強数値スキームを保証する収束速度を得られる。

ABSTRACT

The article is devoted to construction of effective procedures of the mean-square approximation for iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 5. We apply the method of generalized multiple Fourier series for approximation of iterated stochastic integrals. More precisely, we use multiple Fourier-Legendre series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t,T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ Considered iterated Stratonovich stochastic integrals are part of the Taylor-Stratonovich expansion. That is why the results of the article can be applied to implementation of numerical methods with the orders 1.0, 1.5, 2.0 and 2.5 of strong convergence for Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noise.

研究の動機と目的

• 多重度1〜5の反復ストラトノビッチ確率積分の有効な平均二乗近似手順の開発。
• 高次元SDEにおける反復 Ito 積分とストラトノビッチ積分の集合的同時近似という計算的課題の解決。
• 非可換なノイズを有する Ito SDE に対して、1.0、1.5、2.0、2.5次精度の明示的一次ステップ強数値法の実装を可能にする。
• ヒルベルト空間 $L_2([t,T]^k)$ における一般化された多重フーリエ級数を用いた誤差推定と収束解析の体系的フレームワークの提供。

提案手法

• 多重度 $k=1,\dots,5$ における $L_2([t,T]^k)$ での反復ストラトノビッチ積分の平均二乗近似に、一般化された多重フーリエ＝レジェンドル級数を適用。
• レジェンドル多項式に基づく直交展開を用いて確率積分を表現し、$L_2$-ノルムにおける収束を保証。
• レジェンドル基底関数との積分により、フーリエ係数 $C_{j_k\dots j_1}^{(i_1\dots i_k)}$ の明示的公式を導出。
• テイラー＝ストラトノビッチ展開を用いて、SDE 解を反復積分の形に表現し、高次精度数値スキームの構築を可能にする。
• 収束のための誤差境界を $L_2$-ノルム推定により確立し、平均二乗誤差が $\mathcal{O}(\Delta^2/q)$ のオーダーで減少することを示す（$q$ は有限）。
• 解析的誤差式による手法の妥当性を検証。例えば $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(i_1\dots i_k)} - I^{*}_{(i_1\dots i_k)q}\right)^2\right] \leq K\frac{\Delta^2}{q}$（$K$ は $\Delta$ に依存しない）

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重度1〜5の反復ストラトノビッチ確率積分を、平均二乗意味で効果的に近似する方法は何か？
• RQ2 一般化された多重フーリエ＝レジェンドル級数近似の収束速度はどの程度か？
• RQ3 テイラー＝ストラトノビッチ展開における異なるインデックス組み合わせ $i_1,\dots,i_k$ や関数型 $\psi_l(\tau)$ に対して、この手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ4 直交級数展開を用いて、近似誤差を定量的に評価・最小化できるか？
• RQ5 展開項数 $q$ の増加が、さまざまな多重度における近似精度に与える影響は何か？

主な発見

• 平均二乗誤差の境界 $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(i_1\dots i_k)} - I^{*}_{(i_1\dots i_k)q}\right)^2\right] \leq K\frac{\Delta^2}{q}$ を達成し、$K$ が $\Delta$ に依存しないため、収束の強固さが保証される。
• 多重度 $k=3$ において、$q=6$ 時に $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(000)} - I^{*}_{(000)6}\right)^2\right] \approx 0.01956\Delta^3$ が得られ、三重積分に対して高い精度を示す。
• 多重度 $k=3$ で $i_1=1, i_2=0, i_3=0$ の場合、$q=2$ 時に誤差 $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(100)} - I^{*}_{(100)2}\right)^2\right] \approx 0.008154\Delta^5$ となり、非対称ケースでも急速な収束を示す。
• 明示的な誤差式 $\frac{\Delta^5}{60} - \sum_{j_1,j_2,j_3=0}^{2} \left(C_{j_3j_2j_1}^{100}\right)^2 \approx 0.008154\Delta^5$ が得られ、誤差の正確な制御が可能になる。
• 多重度 $k=5$ において、$q=1$ 時に $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(00000)} - I^{*}_{(00000)1}\right)^2\right] \approx 0.007591\Delta^5$ となり、低 $q$ でも優れた性能を示す。
• 本手法により、非可換な多次元ノイズを有する Ito SDE に対して、2.5次精度の明示的強数値スキームを構築可能となる。テイラー＝ストラトノビッチ展開を活用している。