[論文レビュー] On a theory of electricity and gravitation

Gunnar Nordström|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2007

Quantum Mechanics and Applications被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、Nordströmの1914年の5次元統一理論（電磁気および重力）を拡張し、電磁気的および重力的場を10次元ベクトル 𝔽 と 𝔽 で記述する5次元時空枠組みを導入する。場の式は5次元ポテンシャル Φ から導出される。主な貢献は、等価原理を保ちつつ、マクスウェルの関係式（D = εE、B = μH）を5次元に拡張した形式的枠組みであり、物質場理論の基盤を、5次元電流 𝔰 と物質の弾性から導かれるテンソル 𝔖 に対する補足条件を通じて築くものである。

ABSTRACT

This is the second paper by Nordstr{ö}m on his five dimensional theory. It aims at generalizing the relations $\mathbf{D} = ε\mathbf{E}$, $\mathbf{B} = μ\mathbf{H}$ of electromagnetism to the five dimensional gravito-electric theory and to show that this is consistent with the principle of equivalence. Some steps are taken toward providing a foundation for a theory of matter. Nordstr{ö}m hopes, as stated in the conclusion, to show ''that the five dimensional perspective, while still having only a formal content, may however provide footholds for further developments of the theory of gravitation, which otherwise would have been hard to find''.

研究の動機と目的

• 電磁気的関係式 D = εE および B = μH を5次元時空枠組みに一般化すること。
• Nordströmの初期の重力理論を物質源および5次元における場の式を含む形に拡張すること。
• 5次元形式において等価原理と整合性を保つこと。
• 物質の弾性から導かれる5次元電流 𝔰 およびテンソル 𝔖 を導入することで、将来の物質理論の基盤を築くこと。
• 5次元的視点の形式的潜在的価値を、4次元的制約を超える重力理論の発展にどう活かせるかを検討すること。

提案手法

• 5次元ポテンシャル Φ を用いて、5次元ベクトル場強度テンソル 𝔽 と5次元電流 𝔰 を用いて、場の式 (I) および (II) を5次元で定式化する。
• 場強度テンソル 𝔽 を関係式 𝔽ₘₙ = ∂Φₙ/∂xₘ − ∂Φₘ/∂xₙ により5次元ポテンシャル Φ から導出する。
• 元の物質弾性テンソル 𝕊 の代わりに、5次元電流 𝔰 の源を表す修正された物質テンソル 𝔖 を導入する。
• 物質が存在する状況において、場のベクトル 𝔽 と 𝔽 を関連付けるために補足条件を適用し、真空中の一致とは区別する。
• 通常の法線ベクトル 𝔫 の代わりに5次元ポテンシャル Φ を用いることで、5次元電流 𝔰 の修正表現を提示する。この際、法線成分が支配的であると仮定する。
• 式 (28) の変分的仮定を用い、𝔖 と 𝔰、Φ を関連付ける。式 (27) の行列式条件を満たすために、𝔥 と Φ が比例すると仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電磁気的関係式 D = εE および B = μH をどのように5次元時空枠組みに一般化できるか？
• RQ2 5次元形式の重力理論は、等価原理と整合的になるか？
• RQ3 5次元電流 𝔰 は、物質を5次元の重力および電磁気的場に結合するために果たす役割は何か？
• RQ4 5次元場の式から一貫性のある物質理論をどのように導出できるか？
• RQ5 5次元ポテンシャル Φ が5次元電流の式における法線ベクトル 𝔫 を支配すると仮定した場合、その意味は何か？

主な発見

• 5次元場の式 (I) および (II) は、等価原理と形式的に整合的であり、重力と電磁気の対称性を保っている。
• 真空中では場のベクトル 𝔽 と 𝔽 が一致するが、物質が存在する場合にはそれらが異なり、それらを関連付けるために補足条件が必要となる。
• 5次元電流 𝔰 は、修正されたテンソル 𝔖 および5次元ポテンシャル Φ で表され、式 (3) において法線ベクトル 𝔫 を Φ に置き換えた新しい表現が導入されている。
• 𝔖 に対する仮定 (28) は、𝔥 と Φ が比例すると仮定しており、これにより式 (27) が恒等的に満たされることが保証され、物質理論への道筋が得られる。
• Φ が 𝔫 の代わりに使われる修正された5次元電流表現は、一貫性のある代替重力理論を生み出し、5次元的アプローチの強靭性を示唆している。
• 論文は、5次元的視点は形式的ではあるが、4次元的制約を超える重力理論の発展に、独自の出発点を提供していると結論づけている。