[論文レビュー] On the P=W conjecture for $\mathrm{SL}_n$

Mark Andrea A. de Cataldo, Davesh Maulik+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、曲線の genus が 2 で n が素数である場合に、SLₙ における P=W 予想を確立している。その根拠として、この設定下で SLₙ における P=W 予想が GLₙ におけるそれと同値であることを証明している。トポロジカルなミラー対称性定理と E-多項式の計算を用いて、SLₙ-Hitchin モジュライ空間の変種コホロロジーにおける歪みフィルトレーションが、対応するベティ・モジュライ空間における重みフィルトレーションと一致することを示し、genus 2 および SLₙ における P=W の成立を裏付けた。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number. We prove that the $P=W$ conjecture for $\mathrm{SL}_p$ is equivalent to the $P=W$ conjecture for $\mathrm{GL}_p$. As a consequence, we verify the $P=W$ conjecture for genus 2 and $\mathrm{SL}_p$. For the proof, we compute the perverse filtration and the weight filtration for the variant cohomology associated with the $\mathrm{SL}_p$-Hitchin moduli space and the $\mathrm{SL}_p$-twisted character variety, relying on Gröchenig-Wyss-Ziegler's recent proof of the topological mirror conjecture by Hausel-Thaddeus. Finally we discuss obstructions of studying the cohomology of the $\mathrm{SL}_n$-Hitchin moduli space via compact hyper-Kähler manifolds.

研究の動機と目的

• 曲線の genus が 2 で n が素数である場合に、SLₙ における P=W 予想を確立すること。
• 同じ条件下で、SLₙ における P=W 予想が GLₙ におけるそれと同値であることを示すこと。
• SLₙ-Hitchin モジュライ空間の変種コホロロジーおよびそのベティ版に対し、歪みフィルトレーションと重みフィルトレーションを分析すること。
• [4] の方法を GLₙ から SLₙ の場合へ拡張する際の障害を特定すること。

提案手法

• Hausel–Thaddeus のトポロジカルなミラー対称性定理（最近、Gröchenig–Wyss–Ziegler により証明済み）を活用し、SLₙ-Hitchin モジュライ空間およびキャラクター多様体のコホロロジーを関連付ける。
• 群 Γ = Pic⁰(C)[n] の作用の下で、SLₙ-Dolbeault モジュライ空間のコホロロジーを不変部と変種部に分解する。
• n が素数であるとき、任意の genus g ≥ 2 に対して、変種コホロロジー Hₚₐᵣₜᵥₐᵣᵢₐₙₜ*(ℳDol, ℚ) における P=W 予想が成立することを証明する。
• [13, 19] の E-多項式の計算を用いて、コホロロジー上のフィルトレーションの整合性を検証する。
• コンパクトな単純なハイパー・ケーラー多様体の構造を分析し、そのコホロロジーから、次数を保存する全射写像によって SLₙ-Hitchin モジュライ空間のコホロロジーを支配することはできないことを示す。
• Looijenge–Lunts–Verbitsky (LLV) Lie 代数表現論を適用し、K3、Kummer、OG6 型のハイパー・ケーラー多様体が、このような全射写像の候補とはなり得ないことを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n が素数であるとき、SLₙ における P=W 予想は GLₙ におけるそれと同値か？
• RQ2 任意の genus g ≥ 2 および素数 n に対して、SLₙ-Hitchin モジュライ空間の変種コホロロジーにおける P=W 予想は成立するか？
• RQ3 SLₙ-Hitchin モジュライ空間のコホロロジーは、コンパクトなハイパー・ケーラー多様体のコホロロジーから、次数を保存する全射写像によって支配可能か？
• RQ4 [4] の方法（genus 2 における GLₙ に用いられたもの）を SLₙ の場合へ拡張する際の障害は何か？

主な発見

• 曲線の genus が 2 で n が素数であるとき、P=W 予想は定理 0.1 で述べられているように SLₙ に対して成立する。
• n が素数であるとき、コホロロジーの Γ-不変部と変種部への分解のおかげで、SLₙ における P=W 予想は GLₙ におけるそれと同値である。
• 任意の genus g ≥ 2 および素数 n に対して、変種コホロロジー Hₚₐᵣₜᵥₐᵣᵢₐₙₜ*(ℳDol, ℚ) における P=W 予想は、定理 0.2 で示されたように成立する。
• SL₂-Hitchin モジュライ空間の次数 5 における変種部の次元は 30 であり、これはコンパクトなハイパー・ケーラー多様体を用いたアプローチの主要な障害を示している。
• K3、Kummer、OG6 型のコンパクトな単純なハイパー・ケーラー 6 次元多様体は、genus 2 における SL₂-Hitchin モジュライ空間のコホロロジーへ、次数を保存する全射写像をもつことはできない。
• コンパクトなハイパー・ケーラー多様体のコホロロジーから SLₙ-Hitchin モジュライ空間への特殊化写像は、コホロロジー的制約を用いた背理法により、全射にはなり得ないことが示された。