[論文レビュー] On the regularity problem of complex Monge-Ampere equations with conical singularities

Xiuxiong Chen, Yuanqi Wang|arXiv (Cornell University)|May 5, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、滑らかな除法に沿った特異点をもつ複素 Monge-Ampère 方程式の弱解の最大正則性を確立し、$C^{1,1}$-正則な解が特異極座標において実際には Hölder 継続的であることを証明する。特異設定における新規の Calderón-Zygmund 理論と弱特異 Kähler-Ricci 平坦計量に関する Liouville 型定理を用いて、Guenancia-Paun よりも Yao らが構成した弱 Kähler-Einstein 計量が、実際には $C^{2,\alpha,\beta}$ 正則性をもつ強特異 Kähler-Einstein 計量であることを示している。$0 < \alpha < \min(1/\beta - 1, 1)$ の範囲で、特異 Kähler 幾何における正則性問題が、弱解から強解へのアップグレードによって解決される。

ABSTRACT

In the category of metrics with conical singularities along a smooth divisor with angle in $(0, 2π)$, we show that locally defined weak solutions ($C^{1,1}-$solutions) to the Kähler-Einstein equations actually possess maximum regularity, which means the metrics are actually Hölder continuous in the singular polar coordinates. This shows the weak Kähler-Einstein metrics constructed by Guenancia-Paun \cite{GP}, and independently by Yao \cite{GT}, are all actually strong-conical Kähler-Einstein metrics. The key step is to establish a Liouville-type theorem for weak-conical Kähler-Ricci flat metrics defined over $\C^{n}$, which depends on a Calderon-Zygmund theory in the conical setting.

研究の動機と目的

• 特異除法に沿った複素 Monge-Ampère 方程式の弱解の正則性問題を解決すること。
• 弱 Kähler-Einstein 方程式の $C^{1,1}$-正則な弱解が、実際には特異極座標において $C^{2,\alpha,\beta}$-正則であることを示すこと。
• Guenancia-Paun よりも Yao らが構成した弱 Kähler-Einstein 計量が、実際には強特異 Kähler-Einstein 計量であることを確立すること。
• 特異 Calderón-Zygmund 理論を構築し、弱特異 Kähler-Ricci 平坦計量に関する Liouville 型定理を証明すること。

提案手法

• 特異除法 $D$ をもつ $\mathbb{C}^n$ 上の弱特異 Kähler-Ricci 平坦計量に対して、特異設定における新規の特異 Calderón-Zygmund 不等式を構築する。
• 特異ラプラシアンの下での $L^2$-有界な subharmonic 関数の挙動を分析することで、弱特異 Kähler-Ricci 平坦計量に関する Liouville 型定理を証明する。
• 右辺が $L^p$ の特異設定における $W^{2,p,\beta}$ および $C^{1,\alpha,\beta}$ 評価を用いて、特異点近傍での解の成長を制御する。
• 閉 Kähler多様体上で特異 Kähler-Ricci フローを適用し、K-energy 機能の単調性を活用して強解を構成する。
• 線形化作用素が $M \setminus D$ 上で強い最大原理を満たすことを示し、差が定数であることを示すことにより、$C^{1,1,\beta}$ 解の一意性を確立する。
• バリア関数と Guenancia-Paun 型の議論による $C^2$-評価を用いて、特異設定における計量のトレースを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異除法に沿った複素 Monge-Ampère 方程式の弱 $C^{1,1,\beta}$ 解は、$C^{2,\alpha,\beta}$ 正則性にアップグレード可能か？
• RQ2 特異 Calderón-Zygmund 理論は、$\mathbb{C}^n$ 上の弱特異 Kähler-Ricci 平坦計量に対して Liouville 型定理を示唆するか？
• RQ3 Guenancia-Paun よりも Yao らが構成した弱 Kähler-Einstein 計量は、実際には強特異 Kähler-Einstein 計量か？
• RQ4 特異 Kähler-Ricci フローを用いて、閉多様体上の弱 $C^{1,1,\beta}$ 解から $C^{2,\alpha,\beta}$ 解を構成可能か？
• RQ5 特異角 $2\pi\beta$ を与えたとき、$C^{2,\alpha,\beta}$ 正則性が成立する $\alpha$ の正確な範囲は何か？

主な発見

• 正の $f$ および $f \in C^{1,1,\beta}$ をもつ複素 Monge-Ampère 方程式 $\det(\phi_{i\bar{j}}) = f / |z|^{2-2\beta}$ の任意の $C^{1,1,\beta}$ 解 $\phi$ は、すべての $\alpha$ に対して $0 < \alpha < \min(1/\beta - 1, 1)$ を満たす $C^{2,\alpha,\beta}(\Omega)$ に属する。
• Guenancia-Paun よりも Yao らが構成した弱 Kähler-Einstein 計量は、$C^{2,\alpha,\beta}$ 正則性をもつ強特異 Kähler-Einstein 計量にアップグレードされる。
• $\mathbb{C}^n$ 上の弱特異 Kähler-Ricci 平坦計量に対して、有界な $L^2$-subharmonic 関数が特異ラプラシアンの下で定数であるという Liouville 型定理が成り立つ。
• $L^p$-右辺に対して、特異 Calderón-Zygmund 不等式が確立され、特異設定における $W^{2,p,\beta}$ および $C^{1,\alpha,\beta}$ 評価が可能になる。
• 閉 Kähler 多様体上で、特異 Monge-Ampère 方程式の任意の $C^{1,1,\beta}$ 解は定数を除いて一意であり、$0 < \alpha < \min(1/\beta - 1, 1)$ の範囲で $C^{2,\alpha,\beta}$ に属する。
• 特異 Kähler-Ricci フローは $C^{2,\alpha,\beta}$ 解に収束し、フローに基づく正則化によって弱解が実際に強解であることが証明される。