[論文レビュー] Optimization of the Mean-Square Approximation Procedures for Iterated Ito Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 5 from the Unified Taylor-Ito Expansion Based on Multiple Fourier-Legendre Series

Mikhail Kuznetsov, Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2020

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ひとこと要約

本稿では、1次から5次までの反復伊藤確率積分の平均二乗近似手順を、統一されたテイラー＝イート型展開フレームワーク内での多重フーリエ＝レジェンドル級数を用いて最適化する。正確な誤差公式を導出し、27万件の事前計算済み係数のデータベースを活用することで、近似精度を損なわずに必要な独立した標準正規確率変数の数を著しく削減し、非可換ノイズを有する多次元伊藤型SDEに対して、収束次数1.0、1.5、2.0、2.5のより効率的な強数値スキームの実装を可能にする。

ABSTRACT

The article is devoted to optimization of the mean-square approximation procedures for iterated Ito stochastic integrals of multiplicities 1 to 5. The mentioned stochastic integrals are part of strong numerical methods with convergence orders 1.0, 1.5, 2.0, and 2.5 for Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noise based on the unified Taylor-Ito expansion and multiple Fourier-Legendre series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k)$ $(k=1,\ldots,5).$ In this article we use multiple Fourier-Legendre series within the framework of the method of expansion and mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series. We show that the lengths of sequences of independent standard Gaussian random variables required for the mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals of multiplicities 1 to 5 can be significantly reduced without the loss of the mean-square accuracy of approximation for these stochastic integrals.

研究の動機と目的

• 非可換ノイズを有する多次元伊藤型SDEのための強数値法の効率を、反復伊藤確率積分の平均二乗近似を最適化することで向上させること。
• 1次から5次までの反復伊藤積分の正確な平均二乗近似に必要な独立した標準正規確率変数の数を削減すること。
• テイラー＝イート展開フレームワーク内でのフーリエ＝レジェンドル級数近似の正確な誤差公式および収束条件を確立すること。
• 計算コストを最小限に抑えつつ平均二乗精度を保持するように、高次数の数値スキーム（収束次数1.0、1.5、2.0、2.5）の実装を可能にするための手法を提供すること。
• 1次から5次までの積分の効率的近似を可能にする、合計27万件の事前計算済みフーリエ＝レジェンドル係数の包括的データベースを提供すること。

提案手法

• k = 1, \dots, 5 に対して、ヒルベルト空間 $ L_2([t,T]^k) $ 内で反復伊藤確率積分を多重フーリエ＝レジェンドル級数展開で表現する。
• 統一されたテイラー＝イート展開を用いて、1次から5次までの反復積分を主要構成要素とする確率的テイラー級数を導出する。
• 一般化された多重フーリエ級数およびレジェンドル多項式の直交性を用いて、平均二乗近似誤差の正確な公式を導出する。
• 繰り返し計算を避け、近似を高速化するために、27万件の事前計算済みフーリエ＝レジェンドル係数のデータベースを活用する。
• 誤差境界が $ (T-t)^6 $ 比例するように保ちながら、必要な正規確率変数の数を最小化する最適化近似スキームを導入する。
• 収束条件として、重み付き二乗係数の和（例：$ \sum (2j+1)^2 \bar{C}_{j_1 j_2}^{01} $）を用い、最小の切断レベルを決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次から5次までの反復伊藤積分の平均二乗近似に必要な独立した標準正規確率変数の数を、精度を損なわずに削減できるか？
• RQ2 1次から5次までの反復伊藤積分に多重フーリエ＝レジェンドル級数を用いた場合の平均二乗近似誤差の正確な公式は何か？
• RQ3 フーリエ＝レジェンドル級数近似の収束条件は、積分の多重度および構造にどのように依存するか？
• RQ4 平均二乗誤差が $ C(T-t)^6 $ に有界であることを保証するためのフーリエ＝レジェンドル展開の最小項数は何か？
• RQ5 事前計算済み係数の使用は、非可換ノイズを有する多次元伊藤型SDEの高次強数値スキームの計算効率にどのように影響するか？

主な発見

• フーリエ＝レジェンドル級数の最適化された切断により、1次から5次までの反復伊藤積分の平均二乗近似に必要な独立した標準正規確率変数の数が著しく削減された。
• 正確な誤差公式が導出され、1次から5次までの積分の平均二乗誤差が $ C(T-t)^6 $ に有界であることが示され、高次収束が保証された。
• 27万件の事前計算済みフーリエ＝レジェンドル係数の使用により、数値スキームにおける顕著な計算コスト削減が達成された。
• 条件 (241)～(246) は、各多重度に対する最小の切断レベルを提供しており、主な条件 (241)、(243)、(245) に階乗係数（例：$ 3! $、$ 4! $）が存在しないことにより、計算コストが低減された。
• 3次積分の場合、$ T-t = 2^{-1} $ では条件 (241) を満たす最小の $ p $ は1であり、$ T-t = 2^{-6} $ では8に増加することが判明し、適応的切断の有効性が示された。
• 最適化されたスキームは、正規確率変数の数を削減しながらも平均二乗精度を維持しており、収束次数1.0、1.5、2.0、2.5の効率的な強数値法の実装を可能にした。