[論文レビュー] Partial actions of C*-quantum groups I: Restriction and Globalization

Franziska Kraken, Paula Quast+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、C*-量子群のC*-代数への部分的コアクションを導入し、特にC*-代数がスライス写像性質を持つ場合に、最小のグローバライズドコアクション（グローバライゼーション）の存在を確立する。主な貢献は、C*-量子群の単射的で弱連続的かつ正則な部分的コアクションに対して、一意的かつ最小のグローバライゼーションを構成的に証明することであり、ホップ代数からのグローバライゼーション理論をC*-量子群の文脈へと拡張する。

ABSTRACT

Partial actions of groups on C*-algebras and the closely related actions and coactions of Hopf algebras received much attention over the last decades. They arise naturally as restrictions of their global counterparts to non-invariant subalgebras, and the ambient eveloping global (co)actions have proven useful for the study of associated crossed products. In this article, we introduce the partial coactions of C*-bialgebras, focussing on C*-quantum, and prove existence of an enveloping global coaction under mild technical assumptions. The construction of the latter provides a left adjoint to the forgetful functor from coactions to partial coactions. We also show that partial coactions of the function algebra of a discrete group correspond to partial actions on direct summands of a C*-algebra, and relate partial coactions of a compact or its dual discrete C*-quantum group to partial coactions or partial actions of the dense Hopf subalgebra.

研究の動機と目的

• C*-量子群の文脈において、グローバルコアクションからのグローバライゼーション理論をグローバルコアクションから部分的コアクションへと拡張すること。
• C*-量子群の部分的コアクションが最小かつ一意のグローバライゼーションをもつための条件を確立すること。
• 離散群上の関数代数の部分的コアクションとC*-代数の直和成分への部分的作用との関係を明らかにすること。
• コンパクトまたは離散のC*-量子群の部分的コアクションと、それらの稠密なホップ部分代数の部分的コアクションまたは作用との関係を結ぶこと。
• グローバルコアクションの制限によって得られる基本的例（量子ベルヌーイシフト）を構成し、部分的コアクションの圏における初期性を示すこと。

提案手法

• C*-バイアリューブラ、特にC*-量子群の部分的コアクションの概念を導入し、部分的作用やコアクションを一般化すること。
• 弱連続性、強連続性、正則性、および部分的コアクションの単射性といった主要な概念を定義すること。
• C*-量子群のC*-代数のスライス写像性質を活用して、グローバライゼーションの構成における技術的困難を克服すること。
• 普遍性を用いてグローバライゼーションを構成し、部分的コアクションをグローバルなものへ拡張する最小の拡張を定義すること。
• 任意の最小拡張が構成されたグローバル対象を通じて一意に因数分解されることを示し、グローバライゼーションの一意性（同型を除いて）を証明すること。
• 理論を応用して、グローバルコアクションの制限によって得られる量子ベルヌーイシフトを、部分的コアクションの標準的例として構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-量子群の部分的コアクションが最小グローバライゼーションをもつのはどのような条件下か？
• RQ2 離散群 $\Gamma$ 上の関数代数 $C_0(\Gamma)$ の部分的コアクションは、C*-代数の各定義域が直和成分である部分的作用とどのように関係するか？
• RQ3 コンパクトC*-量子群の部分的コアクションと、その双対コンパクト量子群の行列係数の稠密なホップ代数の部分的コアクションとの関係は何か？
• RQ4 任意の単射的で正則なC*-量子群の部分的コアクションは、グローバルコアクションへ埋め込み可能であり、その埋め込みは一意的か？
• RQ5 スライス写像性質は、グローバライゼーション構成の存在性と一意性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• スライス写像性質をもつC*-量子群の単射的で弱連続的かつ正則な部分的コアクションは、すべて最小グローバライゼーションをもつ。
• グローバライゼーションは同型を除いて一意であり、任意の最小拡張は構成されたグローバル対象を通じて一意に因数分解される。
• 離散群 $\Gamma$ 上の関数代数 $C_0(\Gamma)$ の部分的コアクションは、C*-代数の各定義域が直和成分である部分的作用とちょうど一致する。
• 離散C*-量子群の場合、任意の部分的コアクションは、双対コンパクト量子群の行列係数のホップ代数の部分的作用を誘導する。
• 量子ベルヌーイシフトは、グローバルコアクションの制限によって得られる部分的コアクションとして構成され、部分的コアクションの圏において初期的である。
• 任意の最小拡張から構成されたグローバライゼーションへの準同型は全射であり、量子群がC*-量子群である場合には同型となる。これにより、完全な普遍性が保証される。