[論文レビュー] Quasi-pullback of Borcherds products

Shouhei Ma|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、与えられた低ランク対称領域上のボルチェルズ積の準pullbackを生成するウェイル表現型の弱正則モジュラー形式の明示的公式を提供する。主な結果は、$\rho_L$ から $\rho_M$ へのpullbackと、負定値格子 $K$ のシータ級数との $\theta$-縮約を用いて構成される $\rho_M$-値モジュラー形式のボルチェルズ上り上げとして、準pullbackを表すものであり、$II_{2,26}$ や単模格子における既知のケースを一般化する。

ABSTRACT

Quasi-pullback of Borcherds products is an operation of renormalized restriction. It produces a meromorphic modular form on a lower dimensional symmetric domain which is again a Borcherds product. We give an explicit formula for the weakly holomorphic modular form of Weil representation type whose Borcherds lift is the quasi-pullback of the given Borcherds product.

研究の動機と目的

• 与えられた低ランク対称領域上のボルチェルズ積の準pullbackを生成するウェイル表現型モジュラー形式の明示的公式を導出すること。
• 特殊ケース（例：$L = II_{2,26}$ および $f = 1/\triangle$）における準pullbackの既知の公式を、適切な算術埋め込みを持つ任意の偶数格子へ一般化すること。
• 単模格子の場合の $f \cdot \theta_K$ とグリツェンコのジャコビ形式公式を、$\rho$-値モジュラー形式と $\theta$-縮約を用いた統一的枠組みで統合すること。
• ウィット指数条件とコーチェルの原理の下で公式の正当性を確立し、低ランクの場合への拡張可能性を議論すること。

提案手法

• 準pullbackモジュラー形式の重さと特異点を、導出された $\rho_M$-値モジュラー形式のボルチェルズ上り上げと比較する手法に依拠する。
• 中心的構成は、$L' = M \oplus K(-1)$ における $\rho_L$ から $\rho_{L'}$ への pullback 操作 $\uparrow_{L}^{L'}$ と、$\theta$-縮約 $\langle f^{\uparrow_{L}^{L'}}, \Theta_K \rangle$ であり、これにより $\mathcal{D}_M$ 上の目的のモジュラー形式が得られる。
• 公式は、$\mathcal{D}_M$ に対してコーチェルの原理が成り立つように保証されるため、$M$ のウィット指数が $\text{rk}(M) - 2$ 未満であると仮定して導出される。
• 単模格子 $K$ の場合、公式は $g = f \cdot \theta_K$ に簡略化され、スカラー値の場合に一致する。
• ボルチェルズの§16、[3] の定理13.1、ヨシカワによる $\Psi_{b,a,\delta}$ の準pullbackによる構成といった既知の例と一致することを示すことで、手法の妥当性を検証する。
• 2-元格子へとこのアプローチを拡張し、グリツェンコのジャコビ形式フレームワークと関連づけ、準pullbackの $\rho_L$-バージョンを統一的に提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたボルチェルズ積 $\Psi_L(f)$ を $\mathcal{D}_M$ に準pullbackする際に、そのボルチェルズ上り上げが得られる $M$ 上のウェイル表現型モジュラー形式の正確な形は何か？
• RQ2 ウェイル表現値モジュラー形式とシータ級数を用いて、準pullback操作を体系的にどのように記述できるか？
• RQ3 公式 $g = \langle f^{\uparrow_{L}^{L'}}, \Theta_K \rangle$ は、$M \subset L$ が原始的埋め込みで $M = K(-1)^\perp \cap L$ を満たすすべてのケースにおいて、既知の特殊ケースを超えて普遍的に成り立つか？
• RQ4 コーチェルの原理が成り立たない $\text{rk}(M) = 3,4$ の場合に、準pullback公式を拡張できるか？
• RQ5 $\theta$-縮約構成は、単模格子の場合とグリツェンコのジャコビ形式公式をどのように統合するか？

主な発見

• ボルチェルズ積 $\Psi_L(f)$ の $\mathcal{D}_M$ への準pullbackは、$L' = M \oplus K(-1)$ および $K$ を $L$ の正定値負定値部分格子として、$g = \langle f^{\uparrow_{L}^{L'}}, \Theta_K \rangle$ で与えられる $\rho_M$-値モジュラー形式のボルチェルズ上り上げに等しい。
• $L$ が単模格子の場合、公式は $g = f \cdot \theta_K$ に簡略化され、既知のスカラー値の場合に一致する。
• 公式はウィット指数条件 $\text{Witt index}(M) < \text{rk}(M) - 2$ の下で有効であり、これは $\mathcal{D}_M$ に対してコーチェルの原理が成り立つことを保証する。この条件は $\text{rk}(M) \geq 5$ のとき自動的に満たされる。
• $2$-元格子の場合、公式はヨシカワによる $\Psi_{b,a,\delta}$ の構成を、$\Psi_{b+r,a+r,1}$ の準pullbackとして説明する。$\Psi_{10,12,1}$ は $b \leq 10$ のすべての $\Psi_{b,a,\delta}$ を生成する。
• $\downarrow_L^{L'}$ と表されるモジュラー形式への作用（$\uparrow$ の双対）は、正則化平均積に対応し、ヨシカワの例で示されるように、定数形式を非自明なモジュラー形式に変換できる。
• 本結果は、単模格子の公式とグリツェンコのジャコビ形式公式の両方を一般化する統一的枠組みを提供し、後者の公式の $\rho_L$-バージョンを示唆する。